Limit, Türev, İntegral

Türevde Maksimum ve Minimum Nasıl Bulunur?

AYT10 dakikalık okuma25 Eylül 2026

Türevde maksimum ve minimum: dalgalı eğrinin en yüksek ve en düşük noktalarını ışıklı işaretçilerle gösteren öğrenci

Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerleri, türevin sıfır olduğu ya da tanımsız olduğu kritik noktalarda ve aralığın uçlarında aranır. Türevin işaret değiştirmesi ya da ikinci türevin işareti, bir kritik noktanın tepe mi çukur mu olduğunu söyler. Bu yazıda yerel ve mutlak ekstremum kavramlarını, kritik noktaları, birinci ve ikinci türev testlerini, kapalı aralıkta mutlak en büyük ve en küçük değeri, türevin tanımsız olduğu kritik noktaları, rasyonel, üstel, logaritmik ve trigonometrik örnekleri, parametreli soruları ve en büyük alan, kutu, en yakın nokta ve kâr gibi optimizasyon problemlerini çözümlü örneklerle ele alıyoruz.

Maksimum ve minimum nedir?

Önce şunları bil

Bu yazıyı daha rahat anlamak için türev kurallarını ve artan azalan aralıkları bulmayı biliyor olman yeterli.

Temel bilgiler için Türevde Artan ve Azalan Fonksiyonlar ve Türev Alma Kuralları yazılarına göz at.

Bir fonksiyonun grafiğindeki tepe noktaları maksimum, çukur noktaları minimum noktalarıdır. İkisine birlikte ekstremum denir. En yüksek kâr, en az malzeme, en kısa süre gibi soruların hepsi bir fonksiyonun maksimum ya da minimum değerini bulmaya dayanır.

Kapaktaki öğrenci dalgalı bir eğrinin en yüksek ve en düşük noktalarına ışıklı işaretçiler yerleştiriyor. Eğrinin bu noktalarda bir an için yatay olduğuna dikkat et: yükselen yol burada alçalmaya, alçalan yol yükselmeye başlıyor. Türevle ekstremum bulmanın temel fikri tam olarak budur ve bütün yöntemler buradan çıkar.

Yerel ve mutlak ekstremum

Bir noktadaki değer, o noktanın yakınındaki bütün değerlerden büyükse orada yerel maksimum, küçükse yerel minimum vardır. Değer bütün tanım kümesindeki en büyük ya da en küçük değerse buna mutlak maksimum ya da minimum denir.

Kavram	Karşılaştırma
Yerel maksimum	Yakın noktalardan büyük
Yerel minimum	Yakın noktalardan küçük
Mutlak maksimum	Bütün noktalardan büyük ya da eşit
Mutlak minimum	Bütün noktalardan küçük ya da eşit

Bir fonksiyonun birden çok yerel maksimumu olabilir ve bir yerel minimum, başka bir yerel maksimumdan büyük olabilir. Mutlak değerler ise tektir; ancak her fonksiyonun mutlak maksimumu ya da minimumu olmayabilir.

Kritik noktalar

Türevli bir fonksiyonun yerel ekstremum noktasında teğet yataydır; yani türev sıfırdır. Türevin tanımsız olduğu köşe noktaları da ekstremum olabilir. Türevin sıfır ya da tanımsız olduğu noktalara kritik nokta denir.

Hap bilgi

Yerel ekstremumlar yalnızca kritik noktalarda olabilir.

Ama her kritik nokta ekstremum değildir; test gerekir.

Örneğin $x^{3}$ ün türevi sıfırda sıfırdır, yani sıfır bir kritik noktadır; ama fonksiyon orada artmaya devam eder ve ekstremum yoktur. Bu yüzden kritik noktalar bulunduktan sonra her biri bir testle incelenir.

Birinci türev testi

Kritik noktanın iki yanında türevin işaretine bakılır. Türev artıdan eksiye geçiyorsa fonksiyon önce artıp sonra azalır ve o noktada yerel maksimum vardır; eksiden artıya geçiyorsa yerel minimum vardır. İşaret değişmiyorsa ekstremum yoktur.

Türevin işaret değişimi	Sonuç
Artıdan eksiye	Yerel maksimum
Eksiden artıya	Yerel minimum
Değişmiyor	Ekstremum yok

Birinci türev testiyle örnek

Birinci türev testi, artan ve azalan aralıkları bulmak için yapılan işaret tablosunun doğrudan devamıdır. Tablo yapıldığında ekstremumlar da okunmuş olur.

y = x³ - 6x² + 9x + 1 grafiği

Örnek

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1$ fonksiyonu verilsin.

Yerel ekstremum noktalarını bulalım.

$f' (x) = 3 (x - 1) (x - 3)$ ; türev $x = 1$ de artıdan eksiye, $x = 3$ te eksiden artıya geçer.

$x = 1$ de yerel maksimum $f (1) = 5$ , $x = 3$ te yerel minimum $f (3) = 1$ vardır.

İkinci türev testi

Türevin sıfır olduğu bir noktada ikinci türevin işareti grafiğin bükülme yönünü söyler. İkinci türev negatifse grafik aşağı doğru bükülüdür ve nokta bir tepedir; pozitifse yukarı doğru bükülüdür ve nokta bir çukurdur.

$f' (a) = 0$ iken	Sonuç
$f'' (a) < 0$	Yerel maksimum
$f'' (a) > 0$	Yerel minimum
$f'' (a) = 0$	Test karar vermez

Örnek

$f (x) = x^{3} - 3 x$ fonksiyonu verilsin.

Kritik noktaları ikinci türev testiyle inceleyelim.

$f' (x) = 3 x^{2} - 3$ ten kritik noktalar $- 1$ ve $1$ dir; $f'' (x) = 6 x$ tir.

$f'' (- 1) = - 6 < 0$ olduğundan $x = - 1$ de maksimum $2$ , $f'' (1) = 6 > 0$ olduğundan $x = 1$ de minimum $- 2$ vardır.

İkinci türev karar vermezse

İkinci türevin de sıfır olduğu noktalarda test sonuç vermez; o zaman birinci türev testine dönülür. Bu durumda nokta maksimum da, minimum da, hiçbiri de olabilir.

Örnek

$f (x) = x^{4}$ ve $g (x) = x^{3}$ fonksiyonları $x = 0$ da verilsin.

İkinci türev testinin neden karar veremediğini görelim.

İki fonksiyonun da birinci ve ikinci türevi sıfırda sıfırdır.

$x^{4}$ ün türevi $4 x^{3}$ sıfırda eksiden artıya geçer ve minimum vardır; $x^{3}$ ün türevi $3 x^{2}$ ise işaret değiştirmez ve ekstremum yoktur.

Kapalı aralıkta mutlak ekstremum

Kapalı bir aralıkta sürekli olan fonksiyon, mutlak en büyük ve en küçük değerini mutlaka alır. Bu değerler ya kritik noktalarda ya da aralığın uçlarındadır. Bu yüzden yöntem basittir: aralıktaki kritik noktalarda ve iki uçta fonksiyon değerleri hesaplanır, en büyüğü ve en küçüğü seçilir.

Örnek

$f (x) = x^{3} - 3 x$ fonksiyonu $[- 2, 3]$ aralığında verilsin.

Mutlak en büyük ve en küçük değeri bulalım.

Kritik noktalar $- 1$ ve $1$ dir. Değerler: $f (- 2) = - 2$ , $f (- 1) = 2$ , $f (1) = - 2$ , $f (3) = 18$ .

Mutlak en büyük değer $18$ dir ve $x = 3$ te alınır; mutlak en küçük değer $- 2$ dir ve $x = - 2$ ile $x = 1$ de alınır.

Dikkat

Kapalı aralıkta yalnızca kritik noktalara bakmak.

Örnekte en büyük değer bir uç noktada çıktı; yerel maksimum olan $f (- 1) = 2$ ise mutlak maksimum değildir. Uç noktalar her zaman hesaba katılmalıdır.

Parabolün tepesi

İkinci dereceden fonksiyonlarda tek bir kritik nokta vardır ve bu nokta parabolün tepe noktasıdır. Baş katsayı negatifse tepe bir maksimum, pozitifse minimumdur.

Örnek

$f (x) = - x^{2} + 4 x + 1$ fonksiyonu verilsin.

En büyük değeri bulalım.

$f' (x) = - 2 x + 4 = 0$ ise $x = 2$ olur; $f'' (x) = - 2 < 0$ dır.

En büyük değer $f (2) = 5$ tir.

Sonuç parabolün tepe noktası formülüyle de bulunur: $r = - \frac{b}{2 a} = 2$ . Ayrıntılar için Parabolün Tepe Noktası yazısına bakabilirsin.

Türevin tanımsız olduğu kritik nokta

Köşe ya da sivri uç yapan grafiklerde türev tanımsızdır ama bu noktalar ekstremum olabilir. Bu yüzden kritik noktalar aranırken türevin tanımsız olduğu yerler de listeye eklenir.

Örnek

$f (x) = | x |$ ve $g (x) = x^{2 / 3}$ fonksiyonları $x = 0$ da verilsin.

Sıfırda ekstremum olup olmadığını inceleyelim.

$| x |$ in türevi sıfırın solunda $- 1$ , sağında $1$ dir; türev tanımsızdır ama eksiden artıya geçer.

$g' (x) = \frac{2}{3} x^{- 1 / 3}$ sıfırda tanımsızdır ve yine eksiden artıya geçer; iki fonksiyonun da sıfırda minimumu vardır ve değeri $0$ dır.

Rasyonel fonksiyonda ekstremum

Rasyonel fonksiyonlarda türevin işaretini pay belirlediği için kritik noktalar payın kökleridir. Payda sıfır olmuyorsa tanımsız nokta da yoktur.

Örnek

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ fonksiyonu verilsin.

Ekstremum değerlerini bulalım.

$f' (x) = \frac{1 - x^{2}}{(x^{2} + 1)^{2}}$ dir; türev $- 1$ de eksiden artıya, $1$ de artıdan eksiye geçer.

Minimum $f (- 1) = - \frac{1}{2}$ , maksimum $f (1) = \frac{1}{2}$ dir; bunlar aynı zamanda mutlak değerlerdir.

Üstel fonksiyonda ekstremum

Üstel fonksiyon içeren ifadelerde türev genellikle üstel bir çarpan ile polinom gibi basit bir çarpanın çarpımıdır. Üstel çarpan hiç sıfır olmadığı için kritik nokta yalnızca diğer çarpandan gelir.

Örnek

$f (x) = x e^{- x}$ fonksiyonu verilsin.

En büyük değeri bulalım.

$f' (x) = e^{- x} (1 - x)$ tir; türev $x = 1$ de artıdan eksiye geçer.

En büyük değer $f (1) = \frac{1}{e}$ dir.

Logaritmik fonksiyonda ekstremum

Logaritmalı fonksiyonlar yalnızca pozitif sayılarda tanımlıdır. Kritik noktalar bu aralıkta aranır ve sonuçta sık sık $e$ sayısı ortaya çıkar.

Örnek

$f (x) = \frac{\ln x}{x}$ fonksiyonu verilsin, $x > 0$ .

En büyük değeri bulalım.

$f' (x) = \frac{1 - \ln x}{x^{2}}$ tir; türev $x = e$ de artıdan eksiye geçer.

En büyük değer $f (e) = \frac{1}{e}$ dir.

Trigonometrik fonksiyonda ekstremum

Trigonometrik fonksiyonlarda kritik noktalar periyodik olarak tekrar eder. İnceleme bir periyotluk aralıkta yapılır ve uç noktalar da hesaba katılır.

Örnek

$f (x) = \sin x + \cos x$ fonksiyonu $[0, 2 π]$ aralığında verilsin.

En büyük ve en küçük değeri bulalım.

$f' (x) = \cos x - \sin x = 0$ ise $\tan x = 1$ , yani $x = \frac{π}{4}$ ya da $\frac{5 π}{4}$ olur.

$f (\frac{π}{4}) = \sqrt{2}$ en büyük, $f (\frac{5 π}{4}) = - \sqrt{2}$ en küçük değerdir; uçlarda değer $1$ dir.

Parametreli ekstremum

Bir fonksiyonun belirli bir noktada ekstremumu olduğu verilirse, o noktada türev sıfır olmalıdır. Bu koşul bilinmeyen katsayı için bir denklem verir.

Örnek

$f (x) = x^{3} + a x^{2} - 9 x$ fonksiyonunun $x = 3$ te ekstremumu olsun.

$a$ yı ve ekstremumun türünü bulalım.

$f' (3) = 27 + 6 a - 9 = 0$ ise $a = - 3$ olur; $f' (x) = 3 x^{2} - 6 x - 9 = 3 (x - 3) (x + 1)$ .

Türev $x = 3$ te eksiden artıya geçtiği için bu nokta yerel minimumdur ve $f (3) = - 27$ dir.

Türev grafiğinden ekstremum okumak

Bazı sorularda fonksiyonun değil türevinin grafiği verilir. Bu durumda türev grafiğinin yatay ekseni kestiği noktalar kritik noktalardır. Türev grafiği ekseni yukarıdan aşağı kesiyorsa türev artıdan eksiye geçer ve fonksiyonun orada yerel maksimumu vardır; aşağıdan yukarı kesiyorsa yerel minimum vardır.

Türev grafiği ekseni kesmeden yalnızca dokunuyorsa işaret değişmez ve ekstremum yoktur. Bu okuma, türev grafiğini fonksiyon grafiği sanma hatasından kaçınmayı gerektirir: türev grafiğinin tepe noktası, fonksiyonun tepe noktası değildir.

Optimizasyonun adımları

Günlük hayattaki en büyük ya da en küçük değer problemlerine optimizasyon denir. Bu problemler her zaman aynı adımlarla çözülür:

Adım	İşlem
1	Enbüyüklenecek ya da enküçüklenecek niceliği belirle
2	Bu niceliği tek bir değişkenin fonksiyonu olarak yaz
3	Değişkenin anlamlı olduğu aralığı belirle
4	Kritik noktaları bul ve test et
5	Uç noktaları da kontrol edip sonucu yorumla

En zor adım ikincisidir: problemde birden çok değişken varsa verilen bir koşul yardımıyla hepsi tek bir değişkene indirgenir.

En büyük alan

Çevresi sabit olan dikdörtgenler arasında alanı en büyük olan karedir. Bu klasik sonuç türevle kolayca gösterilir ve bahçe çiti, çerçeve gibi problemlerin temelidir.

Örnek

Çevresi $20$ cm olan dikdörtgenler verilsin.

Alanı en büyük olan dikdörtgeni bulalım.

Bir kenar $x$ ise diğer kenar $10 - x$ olur; alan $A (x) = x (10 - x) = 10 x - x^{2}$ dir ve $0 < x < 10$ .

$A' (x) = 10 - 2 x = 0$ ise $x = 5$ tir; dikdörtgen bir karedir ve en büyük alan $25$ santimetrekaredir.

Açık kutu problemi

Kare bir kartonun köşelerinden eşit kareler kesilip kenarlar kaldırılarak üstü açık bir kutu yapılır. Kesilen karelerin boyutu kutunun hacmini belirler ve hacmi en büyük yapan boyut türevle bulunur.

Örnek

Kenarı $12$ cm olan kare bir kartonun köşelerinden kenarı $x$ olan kareler kesiliyor.

Kutunun hacmini en büyük yapan $x$ i ve en büyük hacmi bulalım.

Hacim $V (x) = x (12 - 2 x)^{2}$ dir ve $0 < x < 6$ ; türev $V' (x) = (12 - 2 x) (12 - 6 x)$ olur ve aralıkta yalnızca $x = 2$ de sıfırdır.

Türev $x = 2$ de artıdan eksiye geçer; en büyük hacim $V (2) = 2 \cdot 64 = 128$ santimetreküptür.

Toplamı sabit iki sayı

Toplamı sabit iki pozitif sayının çarpımı, sayılar eşitken en büyüktür; kareleri toplamı ise sayılar eşitken en küçüktür. İki sonuç da tek değişkenli bir fonksiyonun türeviyle gösterilir.

Örnek

Toplamı $10$ olan iki pozitif sayı verilsin.

Çarpımın en büyük, kareleri toplamının en küçük değerini bulalım.

Sayılar $x$ ve $10 - x$ olsun. Çarpım $10 x - x^{2}$ , türevi $10 - 2 x$ ; en büyük çarpım $x = 5$ te $25$ olur.

Kareler toplamı $x^{2} + (10 - x)^{2}$ , türevi $4 x - 20$ ; en küçük değer yine $x = 5$ te $50$ olur.

Eğriye en yakın nokta

Bir noktanın bir eğriye en yakın noktası, uzaklığın karesini enküçükleyerek bulunur. Uzaklığın kendisi yerine karesiyle çalışmak kökten kurtarır ve aynı noktayı verir.

Örnek

$y = x^{2}$ parabolü ve $(0, 2)$ noktası verilsin.

Parabolün bu noktaya en yakın noktalarını ve en kısa uzaklığı bulalım.

Uzaklığın karesi $d^{2} = x^{2} + (x^{2} - 2)^{2} = x^{4} - 3 x^{2} + 4$ tür; türevi $4 x^{3} - 6 x = 2 x (2 x^{2} - 3)$ olur.

$x^{2} = \frac{3}{2}$ için $d^{2} = \frac{7}{4}$ en küçüktür; en kısa uzaklık $\frac{\sqrt{7}}{2}$ dir.

Kâr maksimizasyonu

Kâr, gelir ile maliyetin farkıdır ve üretim miktarına bağlı bir fonksiyondur. Kâr fonksiyonunun türevi sıfır olduğu üretim miktarında, bir birim daha üretmenin getirdiği ek gelir ile ek maliyet eşitlenir; kâr bu noktada en büyüktür.

Örnek

Bir ürünün kâr fonksiyonu $K (x) = - x^{2} + 40 x - 300$ bin TL olsun; $x$ üretim miktarıdır.

Kârı en büyük yapan üretim miktarını ve en büyük kârı bulalım.

$K' (x) = - 2 x + 40 = 0$ ise $x = 20$ olur; $K'' (x) = - 2 < 0$ dır.

En büyük kâr $K (20) = 100$ bin TL dir.

Mutlak ekstremumun olmadığı durumlar

Açık ya da sınırsız aralıklarda fonksiyonun mutlak maksimumu ya da minimumu olmayabilir. $x^{3}$ fonksiyonu bütün gerçek sayılarda sınırsız büyür ve küçülür; hiçbir mutlak ekstremumu yoktur.

$\frac{1}{x}$ fonksiyonu $(0, 1]$ aralığında süreklidir ama aralık kapalı olmadığı için sıfıra yaklaşırken sınırsız büyür ve en büyük değeri yoktur; en küçük değeri ise $x = 1$ de $1$ dir. Bu yüzden optimizasyon problemlerinde değişkenin aralığı mutlaka yazılmalı ve uçlardaki davranış incelenmelidir.

Sınavda maksimum ve minimum

Sınavda nasıl çıkar

İleri düzeyde (AYT) ekstremum soruları; yerel ekstremum noktaları, kapalı aralıkta en büyük ve en küçük değer, parametreli ekstremum ve optimizasyon problemleri biçiminde karşına çıkabilir.

Optimizasyon soruları genellikle alan, hacim, uzaklık ve kâr üzerine kurulur.

Kapalı aralık sorusunda uçları unutma; yerel maksimum her zaman mutlak maksimum değildir. Optimizasyon sorusunda önce niceliği tek değişkenle yaz, değişkenin aralığını belirle, sonra türev al.

Sık yapılan hatalar

Hata	Doğrusu
Her kritik noktayı ekstremum saymak	İşaret değişimi gerekir
Kapalı aralıkta uçları unutmak	Uçlar da hesaplanır
Türevin tanımsız olduğu noktaları atlamak	Onlar da kritik noktadır
$f'' = 0$ iken ekstremum yok demek	Birinci türev testine dönülür
Ekstremum noktası ile değerini karıştırmak	Nokta $x$ , değer $f (x)$
Optimizasyonda aralığı yazmamak	Değişkenin anlamlı aralığı belirlenir

Sonucu her zaman yorumla: bir kutunun kenarı negatif, bir dikdörtgenin kenarı sıfır çıkamaz. Anlamsız çıkan kritik noktalar, problemin koşullarıyla elenir.

Hap bilgi özeti

Yerel ekstremumlar yalnızca kritik noktalarda olabilir.
Ama her kritik nokta ekstremum değildir; test gerekir.

Sık sorulanlar

Kritik nokta nedir?

Türevin sıfır olduğu ya da tanımsız olduğu noktadır. Yerel ekstremumlar yalnızca bu noktalarda olabilir.

Birinci türev testi nedir?

Kritik noktanın iki yanında türevin işaretine bakılır. Artıdan eksiye geçiş yerel maksimum, eksiden artıya geçiş yerel minimum demektir.

İkinci türev testi nedir?

Türevin sıfır olduğu noktada ikinci türev negatifse yerel maksimum, pozitifse yerel minimum vardır. İkinci türev sıfırsa test karar vermez.

Kapalı aralıkta en büyük değer nasıl bulunur?

Aralıktaki kritik noktalarda ve iki uç noktada fonksiyon değerleri hesaplanır; en büyüğü mutlak maksimumdur.

Çevresi sabit dikdörtgenlerden hangisinin alanı en büyüktür?

Karenin. Çevresi 20 olan dikdörtgenler arasında en büyük alan kenarı 5 olan karenindir ve 25 tir.

Her kritik nokta ekstremum mudur?

Hayır. x küp fonksiyonunda sıfır kritik noktadır ama türev işaret değiştirmediği için ekstremum yoktur.

Optimizasyon problemi nasıl çözülür?

Enbüyüklenecek ya da enküçüklenecek nicelik tek değişkenli bir fonksiyon olarak yazılır, değişkenin aralığı belirlenir, kritik noktalar bulunur ve uçlarla birlikte karşılaştırılır.

Kontrol listesi

Bunlar da ilgini çekebilir

Limit, Türev, İntegralTürev Konu AnlatımıTürev nedir? Ortalama ve anlık değişim hızı, teğetin eğimi, temel türevler, türev kuralları, ikinci türev, hız ve ivme, türevlenebilirlik; çözümlü.

Limit, Türev, İntegralTürevde Teğet Denklemi Nasıl Bulunur?Teğet denklemi nasıl bulunur? Eğim ve türev, nokta eğim formülü, normal doğru, yatay teğet, paralel teğet, dışarıdaki noktadan teğet; çözümlü.

Limit, Türev, İntegralTürevde Artan ve Azalan FonksiyonlarTürevle artan ve azalan aralıklar nasıl bulunur? Türevin işareti, işaret tablosu, her yerde artanlık, kesirli fonksiyonlar ve eşitsizlik ispatı; çözümlü.

Bu yazıyı paylaş

✕