Temel Kavramlar ve Sayılar

Ardışık Sayılar

TYTALESKPSS10 dakikalık okuma24 Eylül 2026

Ardışık sayılar, belirli bir adımla düzenli olarak artan sayılardır ve sayı problemlerinde kullanılan temel araçlardan biridir. Bu yazıda ardışık sayıları harfle yazmayı, bir dizide kaç terim olduğunu bulmayı, ardışık sayıların toplamını tek bir formülle hesaplamayı, kareler ve küpler toplamını, ardışık sayıların çarpımındaki bölünebilme özelliklerini ve klasik ardışık sayı problemlerini çözümlü örneklerle ele alıyoruz.

Ardışık sayı nedir?

Önce şunları bil

Bu yazıyı daha rahat anlamak için tam sayıları ve tek-çift sayı kavramını biliyor olman yeterli.

Tek ve çift sayıların özellikleri için Tek ve Çift Sayılar yazısına göz at.

Belirli bir kurala göre eşit adımlarla artan sayılara ardışık sayılar denir. En yaygın olanı ardışık tam sayılardır: her sayı bir öncekinden $1$ fazladır. $4, 5, 6, 7$ ya da $- 2, - 1, 0, 1$ bu türden dizilerdir. Negatif sayılar ve sıfır da ardışık dizilerde yer alabilir.

Adımın $1$ olması gerekmez. Ardışık çift sayılarda ve ardışık tek sayılarda adım $2$ dir: $6, 8, 10$ ve $11, 13, 15$ gibi. Ardışık $5$ in katlarında adım $5$ tir: $15, 20, 25$ gibi. Hangi adım seçilirse seçilsin, ardışık bir dizide komşu iki terimin farkı hep aynıdır.

Hap bilgi

Ardışık sayılarda komşu iki terimin farkı sabittir; bu farka artış miktarı ya da adım denir.

Ardışık tam sayılarda adım $1$ , ardışık tek ve ardışık çift sayılarda adım $2$ dir.

Ardışık sayıları harfle yazmak

Problemlerde ardışık sayılar genellikle bilinmez. Onları tek bir harfle ifade etmek, soruyu tek bilinmeyenli bir denkleme çevirir:

Tür	Genel yazım	Adım
Ardışık tam sayılar	$n, n + 1, n + 2, \dots$	$1$
Ardışık çift sayılar	$2 n, 2 n + 2, 2 n + 4, \dots$	$2$
Ardışık tek sayılar	$2 n + 1, 2 n + 3, 2 n + 5, \dots$	$2$
Ardışık $k$ nın katları	$k n, k n + k, k n + 2 k, \dots$	$k$

Terim sayısı tek olduğunda ortadaki terimi $x$ almak işlemi kısaltır. Üç ardışık tam sayı $x - 1$ , $x$ , $x + 1$ olarak yazılırsa toplamları doğrudan $3 x$ olur; artılar ve eksiler birbirini götürür. Beş ardışık çift sayı da $x - 4$ , $x - 2$ , $x$ , $x + 2$ , $x + 4$ olarak yazılabilir ve toplamları $5 x$ olur.

Dikkat

Ardışık tek sayıları $x$ , $x + 1$ , $x + 2$ diye yazmak yanlıştır.

$x$ tek ise $x + 1$ çifttir. Ardışık tek sayılar da ardışık çift sayılar da $x$ , $x + 2$ , $x + 4$ biçiminde yazılır; $x$ in tek mi çift mi olduğunu sorudaki bilgi belirler.

Terim sayısı nasıl bulunur?

Ardışık bir dizide kaç terim olduğunu saymak için hepsini yazmak gerekmez. İlk terim, son terim ve adım biliniyorsa şu formül yeter:

Terim sayısı = \frac{Son terim - İlk terim}{Adım} + 1

Sondaki $+ 1$ in nedeni basittir. $3$ ten $7$ ye kadar olan tam sayılar $3, 4, 5, 6, 7$ dir. Aradaki fark $7 - 3 = 4$ adım eder, ama sayı sayısı $5$ tir: dört adım, beş durak demektir. Bir çitin direklerini sayarken de aynı durum vardır; $4$ aralık için $5$ direk gerekir.

Örnek

$7$ den $91$ e kadar olan tek sayılar verilsin.

Bu dizide kaç terim vardır?

İlk terim $7$ , son terim $91$ , adım $2$ .

Formülü uygulayalım: $\frac{91 - 7}{2} + 1 = 42 + 1$ .

Dizide $43$ terim vardır.

Örnek

$15$ ile $120$ arasındaki, $15$ ve $120$ dahil, $5$ in katları verilsin.

Kaç tane olduklarını bulalım.

İlk terim $15$ , son terim $120$ , adım $5$ .

$\frac{120 - 15}{5} + 1 = 21 + 1 = 22$ .

$22$ tane $5$ in katı vardır.

Örnek

İki basamaklı doğal sayılar verilsin.

Bunlardan kaç tanesi $3$ ile tam bölünür?

$3$ ile bölünen en küçük iki basamaklı sayı $12$ , en büyüğü $99$ .

Adım $3$ olan bu dizide terim sayısı: $\frac{99 - 12}{3} + 1 = 29 + 1$ .

$30$ tane iki basamaklı sayı $3$ ile tam bölünür.

Dikkat

Soruda "arasında" ile "dahil" ifadelerine dikkat et.

$10$ ile $20$ arasındaki tam sayılar $11, 12, \dots, 19$ dur ve $9$ tanedir. Uç değerler dahil edilirse $10$ ve $20$ de sayılır ve $11$ tane olur.

Kaçıncı terim?

Terim sayısı formülü tersinden de kullanılır. İlk terimi ve adımı bilinen bir dizide herhangi bir terimi bulmak için ilk terime adım, terimin sırasından bir eksik kadar eklenir:

n . terim = İlk terim + (n - 1) \cdot Adım

Burada da $n - 1$ in sebebi aynıdır: birinci terimden $n$ inci terime gitmek için $n - 1$ adım atılır.

Örnek

$5, 9, 13, 17, \dots$ dizisi verilsin.

Dizinin $20$ nci terimini ve $101$ in kaçıncı terim olduğunu bulalım.

İlk terim $5$ , adım $4$ . Yirminci terim: $5 + 19 \cdot 4 = 5 + 76 = 81$ .

$101$ in sırası için terim sayısı formülünü kullanalım: $\frac{101 - 5}{4} + 1 = 24 + 1 = 25$ .

Yirminci terim $81$ , $101$ ise $25$ inci terimdir.

Adım negatif de olabilir; bu durumda dizi azalır. $100$ den başlayıp geriye doğru yedişer sayıldığını düşünelim: $100, 93, 86, \dots$ Bu dizide $2$ nin kaçıncı terim olduğunu bulmak için farkı adımın büyüklüğüne bölmek yeter: $\frac{100 - 2}{7} + 1 = 14 + 1 = 15$ . Yani $2$ , on beşinci terimdir.

Dikkat

Bir sayının dizide olup olmadığını kontrol etmeden sırasını hesaplama.

$5, 9, 13, \dots$ dizisinde $50$ var mı? $\frac{50 - 5}{4}$ tam sayı çıkmaz; bu yüzden $50$ bu dizinin terimi değildir. Bölme tam çıkmıyorsa sayı dizide yoktur.

Ardışık sayıların toplamı

$1$ den $100$ e kadar olan sayıların toplamını tek tek toplamak uzun sürer. Matematikçi Gauss'a atfedilen yöntemde ilk ve son terimler eşleştirilir: $1 + 100 = 101$ , $2 + 99 = 101$ , $3 + 98 = 101$ ve bu böyle devam eder. $100$ sayı, $50$ çift oluşturur ve her çiftin toplamı $101$ dir:

1 + 2 + 3 + \dots + 100 = 50 \cdot 101 = 5050

Aynı fikir her ardışık diziye uygulanır. İlk terimle son terimin toplamı, baştan ikinci ile sondan ikincinin toplamına eşittir ve bu eşitlik dizinin ortasına kadar sürer. Bu yüzden:

Toplam = \frac{(İlk terim + Son terim) \cdot Terim sayısı}{2}

Örnek

$21 + 23 + 25 + \dots + 59$ toplamı verilsin.

Toplamın değerini bulalım.

Önce terim sayısı: $\frac{59 - 21}{2} + 1 = 19 + 1 = 20$ .

Formülü uygulayalım: $\frac{(21 + 59) \cdot 20}{2} = \frac{80 \cdot 20}{2}$ .

Toplam $800$ dür.

Özel toplamlar

Genel formülden elde edilen üç özel toplam, sorularda çok zaman kazandırır:

Toplam	Sonuç
$1 + 2 + 3 + \dots + n$	$\frac{n (n + 1)}{2}$
$2 + 4 + 6 + \dots + 2 n$	$n (n + 1)$
$1 + 3 + 5 + \dots + (2 n - 1)$	$n^{2}$

Burada $n$ her zaman terim sayısıdır. Çift sayılar toplamında son terim $2 n$ , tek sayılar toplamında son terim $2 n - 1$ olduğu için $n$ yi son terimden hesaplamak gerekir.

Örnek

Üç toplam verilsin: $1 + 2 + \dots + 40$ , $2 + 4 + \dots + 60$ ve $1 + 3 + \dots + 49$ .

Üçünün değerini bulalım.

Birincide $n = 40$ : $\frac{40 \cdot 41}{2} = 820$ .

İkincide son terim $60 = 2 n$ , yani $n = 30$ : $30 \cdot 31 = 930$ .

Üçüncüde son terim $49 = 2 n - 1$ , yani $n = 25$ : $25^{2} = 625$ .

Hap bilgi

Ardışık bir dizinin toplamı, ilk ve son terimin ortalaması ile terim sayısının çarpımıdır.

Özel toplamlarda $n$ terim sayısıdır; son terimle karıştırma.

Aradan başlayan toplamlar

Toplam $1$ den başlamıyorsa iki yol vardır: genel formülü doğrudan kullanmak ya da büyük toplamdan küçük toplamı çıkarmak. İkinci yol, özel toplam formüllerini ezbere bilenler için hızlıdır.

Örnek

$11 + 12 + 13 + \dots + 30$ toplamı verilsin.

Toplamı iki yoldan bulalım.

Çıkarma yoluyla: $1$ den $30$ a kadar toplam $\frac{30 \cdot 31}{2} = 465$ , $1$ den $10$ a kadar toplam $55$ .

Aranan toplam $465 - 55 = 410$ .

Genel formülle: terim sayısı $20$ , toplam $\frac{(11 + 30) \cdot 20}{2} = 410$ . İki yol aynı sonucu verir.

Örnek

$40 + 42 + 44 + \dots + 80$ toplamı verilsin.

Toplamı bulalım.

Terim sayısı: $\frac{80 - 40}{2} + 1 = 21$ .

Toplam: $\frac{(40 + 80) \cdot 21}{2} = 60 \cdot 21 = 1260$ .

Kontrol: toplam $2 \cdot (20 + 21 + \dots + 40)$ olarak da yazılabilir ve $2 \cdot (820 - 190) = 1260$ bulunur.

Dikkat

Çıkarma yolunda çıkarılan toplamın son terimine dikkat et.

$11$ den başlayan bir toplam için $1$ den $10$ a kadar olan toplam çıkarılır; $11$ e kadar olan değil. Yoksa $11$ de yanlışlıkla çıkarılmış olur.

Ortalama ve ortadaki terim

Ardışık bir dizinin ortalaması, ilk ve son terimin ortalamasına eşittir. Terim sayısı tekse bu ortalama tam ortadaki terimdir. Bu özellik, toplamı verilen ardışık sayıları bulmanın en kısa yoludur: toplamı terim sayısına bölersen ortayı bulursun.

Örnek

Beş ardışık tam sayının toplamı $115$ olsun.

Bu sayılardan en büyüğü kaçtır?

Ortalama $115 : 5 = 23$ ; terim sayısı tek olduğu için ortadaki sayı $23$ tür.

Sayılar: $21, 22, 23, 24, 25$ .

En büyüğü $25$ tir.

Örnek

Dört ardışık çift sayının toplamı $100$ olsun.

Bu sayıları bulalım.

Ortalama $100 : 4 = 25$ . Terim sayısı çift olduğu için ortada bir terim yoktur; $25$ , ortadaki iki terimin tam ortasıdır.

$25$ in iki yanındaki ardışık çift sayılar $24$ ve $26$ .

Sayılar: $22, 24, 26, 28$ . Kontrol: toplamları $100$ .

Örnek

Üç ardışık tek sayının toplamı $81$ olsun.

En büyük sayı kaçtır?

Sayıları $x - 2$ , $x$ , $x + 2$ olarak yazalım; toplam $3 x = 81$ .

$x = 27$ ; sayılar $25, 27, 29$ .

En büyüğü $29$ dur.

Kareler ve küpler toplamı

Ardışık sayıların kareleri ve küpleri ardışık dizi değildir; çünkü komşu terimlerin farkı sabit kalmaz. Bu yüzden onların toplamı için ayrı formüller kullanılır:

Toplam	Sonuç
$1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2}$	$\frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$
$1^{3} + 2^{3} + \dots + n^{3}$	$\frac{n^{2} (n + 1)^{2}}{4}$

Küpler toplamının sonucu dikkat çekicidir: $\frac{n^{2} (n + 1)^{2}}{4}$ , $1 + 2 + \dots + n$ toplamının karesidir. Yani ilk $n$ sayının küplerinin toplamı, bu sayıların toplamının karesine eşittir.

Örnek

$1^{2} + 2^{2} + \dots + 10^{2}$ toplamı verilsin.

Değerini bulalım.

$n = 10$ için formül: $\frac{10 \cdot 11 \cdot 21}{6} = \frac{2310}{6}$ .

Toplam $385$ tir.

Örnek

$1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + 4^{3} + 5^{3}$ toplamı verilsin.

Değerini iki yoldan bulalım.

Formülle: $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$ ve $15^{2} = 225$ .

Tek tek toplayarak: $1 + 8 + 27 + 64 + 125 = 225$ .

İki yol aynı sonucu verir: $225$ .

Örnek

$6^{2} + 7^{2} + 8^{2} + 9^{2} + 10^{2}$ toplamı verilsin.

Değerini bulalım.

$1^{2} + \dots + 10^{2} = 385$ ve $1^{2} + \dots + 5^{2} = \frac{5 \cdot 6 \cdot 11}{6} = 55$ .

Aranan toplam $385 - 55 = 330$ .

Kontrol: $36 + 49 + 64 + 81 + 100 = 330$ .

Ardışık sayıların çarpımı ve bölünebilme

Ardışık tam sayıların çarpımı bazı sayılara her zaman tam bölünür. Bunun sebebi, ardışık dizilerde belirli katların kaçınılmaz olarak yer almasıdır:

İki ardışık tam sayı: biri mutlaka çifttir, bu yüzden çarpımları çifttir.
Üç ardışık tam sayı: biri mutlaka $3$ ün katı, en az biri çifttir; çarpımları $6$ ya tam bölünür.
İki ardışık çift sayı: $2 n (2 n + 2) = 4 n (n + 1)$ ve $n (n + 1)$ çift olduğu için çarpımları $8$ e tam bölünür.

Genel kural şudur: $k$ ardışık tam sayının çarpımı $k!$ ile tam bölünür. Dört ardışık tam sayının çarpımı $4! = 24$ e, beş ardışık tam sayının çarpımı $5! = 120$ ye tam bölünür.

Örnek

$5 \cdot 6 \cdot 7$ ve $12 \cdot 13 \cdot 14 \cdot 15$ çarpımları verilsin.

Kuralı kontrol edelim.

$5 \cdot 6 \cdot 7 = 210$ ve $210 = 6 \cdot 35$ : $6$ ya tam bölünüyor.

$12 \cdot 13 \cdot 14 \cdot 15 = 32760$ ve $32760 = 24 \cdot 1365$ : $24$ e tam bölünüyor.

Örnek

Dört ardışık tam sayının çarpımına $1$ eklensin.

Sonucun bir tam kare olduğunu gösterelim.

Örnekler: $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 + 1 = 25 = 5^{2}$ ve $2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 + 1 = 121 = 11^{2}$ .

Genel olarak $n (n + 3) = n^{2} + 3 n$ ve $(n + 1) (n + 2) = n^{2} + 3 n + 2$ dir.

$t = n^{2} + 3 n$ dersek çarpım artı bir $t (t + 2) + 1 = t^{2} + 2 t + 1 = (t + 1)^{2}$ olur; yani $(n^{2} + 3 n + 1)^{2}$ .

Ardışık sayı problemleri

Ardışık sayı problemlerinde yol hep aynıdır: sayıları tek bir harfle yaz, verilen bilgiyi denkleme çevir, denklemi çöz ve sonucu kontrol et.

Örnek

Ardışık iki doğal sayının kareleri farkı $37$ olsun.

Bu sayıları bulalım.

Sayılar $n$ ve $n + 1$ olsun: $(n + 1)^{2} - n^{2} = 2 n + 1$ .

$2 n + 1 = 37$ ise $n = 18$ .

Sayılar $18$ ve $19$ . Kontrol: $361 - 324 = 37$ .

Örnek

Bir kitabın sayfaları $1$ den $150$ ye kadar numaralandırılsın.

Numaralandırmada toplam kaç rakam kullanılır?

Tek basamaklı sayfalar $1$ ile $9$ arası: $9$ sayfa, $9$ rakam.

İki basamaklılar $10$ ile $99$ arası: $90$ sayfa, $90 \cdot 2 = 180$ rakam.

Üç basamaklılar $100$ ile $150$ arası: $51$ sayfa, $51 \cdot 3 = 153$ rakam.

Toplam: $9 + 180 + 153 = 342$ rakam.

Örnek

Açık bir kitapta karşılıklı iki sayfanın numaraları toplamı $245$ olsun.

Sayfa numaralarını bulalım.

Karşılıklı sayfalar ardışıktır: $n$ ve $n + 1$ .

$2 n + 1 = 245$ ise $n = 122$ .

Sayfalar $122$ ve $123$ tür.

Hap bilgi

Önce sayıları harfle yaz, sonra denklemi kur; bulduğun sayıları mutlaka soruya geri koyarak kontrol et.

Terim sayısı tekse ortadaki terimi $x$ almak denklemi kısaltır.

Sınavda ardışık sayılar

Sınavda nasıl çıkar

Temel düzeyde (TYT) bu konu terim sayısı, ardışık sayıların toplamı, toplamı verilen sayıları bulma ve sayfa numarası gibi problemler biçiminde karşına çıkabilir.

ALES ve KPSS düzeyinde ardışık sayı bilgisi sayısal akıl yürütme sorularının içinde de karşına çıkabilir: ortalamadan terim bulma ya da iki toplamın farkını hesaplama gibi.

Bu konuda hız, formülleri ezberlemekten çok onların nereden geldiğini bilmekten gelir. Terim sayısı formülündeki $+ 1$ i ve toplam formülündeki eşleştirme fikrini anladıysan, hatırlamadığın bir formülü birkaç saniyede yeniden kurabilirsin.

Sık yapılan hatalar

Hata	Doğrusu
Terim sayısında $+ 1$ i unutmak	$\frac{Son - İlk}{Adım} + 1$
Ardışık tekleri $x$ , $x + 1$ yazmak	$x$ , $x + 2$
Özel toplamda $n$ yi son terim sanmak	$n$ terim sayısıdır
Aradan başlayan toplamda fazla terim çıkarmak	Bir önceki terime kadar çıkar
Karelerin toplamını ardışık dizi sanmak	Ayrı formül kullanılır
"Arasında" ile "dahil" ifadesini karıştırmak	Uç değerleri kontrol et

Bu hataların çoğu, formülü nereden geldiğini bilmeden kullanmaktan doğar. Şüphede kaldığında küçük bir örnek üzerinde, örneğin $1$ den $5$ e kadar olan sayılarla, formülü denemek hatayı hemen ortaya çıkarır.

Hap bilgi özeti

Ardışık sayılarda komşu iki terimin farkı sabittir; bu farka artış miktarı ya da adım denir.
Ardışık tam sayılarda adım $1$ , ardışık tek ve ardışık çift sayılarda adım $2$ dir.
Ardışık bir dizinin toplamı, ilk ve son terimin ortalaması ile terim sayısının çarpımıdır.
Özel toplamlarda $n$ terim sayısıdır; son terimle karıştırma.
Önce sayıları harfle yaz, sonra denklemi kur; bulduğun sayıları mutlaka soruya geri koyarak kontrol et.
Terim sayısı tekse ortadaki terimi $x$ almak denklemi kısaltır.

Sık sorulanlar

Ardışık sayı ne demektir?

Eşit adımlarla artan sayılardır. Ardışık tam sayılarda adım 1, ardışık tek ve çift sayılarda adım 2 dir.

Terim sayısı formülünde neden 1 eklenir?

Son terimden ilk terimi çıkarıp adıma bölmek aradaki adım sayısını verir. Dizinin terim sayısı adım sayısından bir fazladır; 4 adım, 5 terim demektir.

1 den 100 e kadar olan sayıların toplamı kaçtır?

5050 dir. İlk ve son terimler eşleştirilince 50 çift oluşur ve her çiftin toplamı 101 dir.

Ardışık tek sayıların toplamı nasıl bulunur?

1 den başlayan ilk n tek sayının toplamı n nin karesidir. Örneğin 1 den 49 a kadar olan 25 tek sayının toplamı 625 tir.

Toplamı verilen ardışık sayılar nasıl bulunur?

Toplam terim sayısına bölünerek ortalama bulunur. Terim sayısı tekse bu ortalama ortadaki sayıdır, sonra komşu terimler yazılır.

Üç ardışık tam sayının çarpımı neden 6 ya bölünür?

Üç ardışık tam sayıdan biri mutlaka 3 ün katıdır ve en az biri çifttir. Bu yüzden çarpım hem 2 ye hem 3 e, yani 6 ya tam bölünür.

Kontrol listesi

Bunlar da ilgini çekebilir

Temel Kavramlar ve SayılarTemel Kavramlar Konu Anlatımı PDFRakam ve sayı, tek ve çift sayılar, pozitif ve negatif sayılar, ardışık sayılar, asal sayılar, faktöriyel ve basamak kavramı; çözümlü örneklerle.

Temel Kavramlar ve SayılarTek ve Çift SayılarTek ve çift sayılar nedir? Toplama, çarpma, kuvvet ve bölmede tek-çift kuralları, ifadelerin paritesi ve sayma problemleri; çözümlü örneklerle.

Temel Kavramlar ve SayılarSayı Doğrusu ve Sayıları SıralamaSayı doğrusu nedir? Uzaklık ve orta nokta, aralıklar, ondalık sayıları, kesirleri, köklü ve üslü sayıları sıralama yöntemleri; çözümlü örneklerle.

Bu yazıyı paylaş

WhatsApp X