Sayı Doğrusu ve Sayıları Sıralama
TYTALESKPSS10 dakikalık okuma görüntülenme
Sayıları karşılaştırmanın en sağlam yolu, onları bir doğru üzerinde görmektir. Sayı doğrusunda sağdaki sayı her zaman büyüktür; bu basit kural tam sayılardan kesirlere, köklü sayılardan üslü sayılara kadar her sıralama sorusunun temelidir. Bu yazıda sayı doğrusunu kuruyor, iki nokta arasındaki uzaklığı ve orta noktayı buluyor, aralıkları gösteriyor ve ondalık sayıları, kesirleri, köklü ve üslü sayıları sıralamanın yöntemlerini çözümlü örneklerle ele alıyoruz.
Sayı doğrusu nedir?
Bu yazıyı daha rahat anlamak için tam sayıları, kesirleri ve pozitif-negatif sayı kavramını biliyor olman yeterli.
İşaret kuralları ve negatif sayılar için Pozitif ve Negatif Sayılar yazısına göz at.
Sayı doğrusu, sayıları bir doğru üzerinde noktalarla gösterme yoludur. Kurmak için üç şey gerekir: başlangıç noktası olarak seçilen ve ile gösterilen bir nokta, birim uzunluk olarak seçilen sabit bir uzunluk ve bir yön. Genellikle sağ yön pozitif seçilir; ın sağında solunda birer birim aralıkla dizilir.
Sayı doğrusundaki her nokta tek bir gerçek sayıya, her gerçek sayı da tek bir noktaya karşılık gelir. Yalnızca tam sayılar değil, gibi kesirler ve gibi irrasyonel sayılar da doğru üzerinde bir yer kaplar. Gerçek sayıların doğruyu boşluksuz doldurması hakkında İrrasyonel Sayılar ve Gerçek Sayılar yazısına bakabilirsin.
Sayı doğrusunda sağdaki sayı soldakinden her zaman büyüktür.
Her gerçek sayı doğru üzerinde tek bir noktaya karşılık gelir.
Sayı doğrusuna sayı yerleştirmek
Tam sayılar birim çizgilerin tam üzerindedir. Kesirleri yerleştirmek için birim aralık paydadaki sayı kadar eşit parçaya bölünür ve pay kadar parça sayılır.
ve sayıları verilsin.
Sayı doğrusunda yerlerini bulalım.
: ile arası eşit parçaya bölünür; dan sağa parça sayılır.
: ile arası eşit parçaya bölünür; den sağa parça sayılır.
Ondalık ve irrasyonel sayılar için önce hangi iki tam sayı arasında olduklarına bakılır. , ile in tam ortasındadır. ise yaklaşık olduğu için ile arasında, in biraz solundadır.
Negatif kesirleri yerleştirirken yön ters çalışır.
dir: den sola doğru parça sayılır. Sayı ile arasındadır, ye daha yakındır.
İki nokta arasındaki uzaklık ve orta nokta
Sayı doğrusunda ve noktaları arasındaki uzaklık, büyük sayıdan küçüğün çıkarılmasıyla bulunur. Hangisinin büyük olduğunu düşünmek istemiyorsan farkın mutlak değerini al: uzaklık dir. İki noktanın tam ortasındaki nokta ise iki sayının ortalamasıdır: .
Sayı doğrusunda ve noktaları verilsin.
ile arasındaki uzaklığı ve orta noktayı bulalım.
Uzaklık: birim.
Orta nokta: .
Kontrol: nin e uzaklığı , ye uzaklığı da birimdir.
Sayı doğrusunda ve noktaları verilsin.
yi dan başlayarak oranında bölen noktayı bulalım.
birim. oranı, uzunluğun eşit parçaya bölünmesi demektir.
Bir parça birim; nokta dan birim sağdadır.
Aranan nokta . Kontrol: ya uzaklığı , ye uzaklığı ; oran .
Sayı doğrusunda e uzaklığı birim olan noktalar sorulsun.
Bu noktaları bulalım.
ten sağa birim: . ten sola birim: .
İki nokta vardır: ve . Bu soru, denkleminin sayı doğrusundaki karşılığıdır.
Aralıklar ve aralıktaki tam sayılar
Sayı doğrusunda iki sayı arasındaki bölgeye aralık denir. Uç noktanın aralığa dahil olup olmadığı iki şekilde gösterilir: sayı doğrusunda dolu nokta dahil, boş nokta hariç demektir; yazıda ise köşeli parantez dahil, normal parantez hariç demektir.
| Eşitsizlik | Aralık | Uç noktalar |
|---|---|---|
| İkisi de dahil | ||
| İkisi de hariç | ||
| Yalnız dahil | ||
| Yalnız dahil |
Bir ucu olmayan aralıklar da vardır. eşitsizliği, nin sağındaki bütün sayıları anlatır ve biçiminde yazılır. ise dir. Sonsuz bir sayı olmadığı ve hiçbir zaman ulaşılamadığı için sonsuz tarafında her zaman normal parantez kullanılır. İki aralığın ortak kısmını bulmak için ikisini aynı sayı doğrusu üzerinde çizmek yeter: ile nin ortak kısmı dir.
aralığı verilsin.
Bu aralıkta kaç tam sayı vardır?
hariç, dahil. Tam sayılar: .
Terim sayısı formülüyle: .
Aralıkta tam sayı vardır.
aralığı verilsin.
Bu aralıktaki tam sayıları bulalım.
Uç noktalar tam sayı değil; bu yüzden dahil ya da hariç olmaları sonucu değiştirmez.
ten büyük en küçük tam sayı , den küçük en büyük tam sayı .
Tam sayılar : toplam tane.
Tam sayıları ve ondalık sayıları sıralama
Pozitif sayılarda büyüklük alışıldığı gibidir. Negatif sayılarda ise sıfırdan uzaklaştıkça sayı küçülür: , den küçüktür çünkü sayı doğrusunda daha soldadır. Kısaca: iki negatif sayıdan mutlak değeri büyük olan daha küçüktür.
Ondalık sayıları karşılaştırırken önce tam kısma, tam kısımlar eşitse ondalık basamaklara soldan sağa sırayla bakılır. Basamak sayıları farklıysa sona sıfır eklemek karşılaştırmayı kolaylaştırır; ile aynı sayıdır.
, ve sayıları verilsin.
Küçükten büyüğe sıralayalım.
Basamakları eşitleyelim: , , .
Onda birler basamağı hepsinde ; yüzde birler basamağında , , ; binde birler basamağında ile .
Sıralama: .
, ve sayıları verilsin.
Küçükten büyüğe sıralayalım.
Mutlak değerler bir önceki örnekteki sayılardır: .
Negatif sayılarda sıra ters döner.
Sıralama: .
Basamak sayısı fazla olan ondalık sayı daha büyük değildir.
in üç ondalık basamağı var, in iki; ama daha büyüktür. Karşılaştırma basamak sayısına göre değil, soldan başlayarak basamak değerlerine göre yapılır.
Kesirleri sıralama
Kesirleri sıralamanın tek bir yolu yoktur; sayılara bakıp en kısa yolu seçmek gerekir. Aşağıdaki yöntemler pozitif kesirler içindir:
- Paydalar eşitse: payı büyük olan büyüktür. .
- Paylar eşitse: paydası küçük olan büyüktür. ; bir bütünü parçaya bölmek, parçaya bölmekten daha büyük parçalar verir.
- Paydaları eşitlemek: kesirler ortak paydaya genişletilir, sonra paylar karşılaştırılır.
- Ondalığa çevirmek: her kesir bölme işlemiyle ondalık sayıya çevrilir.
- Çapraz çarpım: ve pozitifken ile yi karşılaştırmak için ile karşılaştırılır.
, ve kesirleri verilsin.
Küçükten büyüğe sıralayalım.
Paydaların en küçük ortak katı . Genişletelim: , , .
Payları karşılaştıralım: .
Sıralama: . Ondalıkla kontrol: yaklaşık , ve .
ile kesirleri verilsin.
Hangisinin büyük olduğunu çapraz çarpımla bulalım.
ve .
olduğu için .
Bire olan uzaklıkla sıralama
Pay ile paydası arasındaki fark aynı olan kesirlerde en hızlı yol, kesirlerin e ne kadar uzak olduğuna bakmaktır.
, ve kesirleri verilsin.
Küçükten büyüğe sıralayalım.
Her biri den biraz küçük: , , .
den çıkarılan parça ne kadar küçükse kesir o kadar büyüktür: .
Sıralama: .
, ve kesirleri verilsin.
Küçükten büyüğe sıralayalım.
Her biri den biraz büyük: , , .
Bu kez e eklenen parça büyük olan büyüktür.
Sıralama: .
ile kesirleri verilsin.
Hangisi büyüktür?
ve .
olduğu için den daha az çıkarılan büyüktür.
.
Paylar eşitse paydası küçük olan, paydalar eşitse payı büyük olan kesir büyüktür (pozitif kesirlerde).
Pay ile payda arasındaki fark sabitse kesirleri e olan uzaklıklarıyla karşılaştır.
Negatif kesirleri sıralama
Negatif kesirlerde önce işaretleri yok sayıp pozitif kesirler gibi sıralarsın, sonra sırayı ters çevirirsin. Sayı doğrusunda sıfırdan uzak olan negatif sayı daha küçüktür.
ile sayıları verilsin.
Hangisi büyüktür?
Mutlak değerleri karşılaştıralım: ve ; yani .
Negatiflerde sıra ters döner.
; büyük olan dir.
Köklü sayıları sıralama
Köklü sayıları karşılaştırmanın en güvenilir yolu, hepsini tek bir kökün içine almaktır. Pozitif sayılarda kökün içi büyük olan sayı büyüktür. Kökün dışındaki bir katsayı, karesi alınarak içeri taşınır: .
, , ve sayıları verilsin.
Küçükten büyüğe sıralayalım.
Hepsini tek kök içine alalım: , , , .
Kök içlerini karşılaştıralım: .
Sıralama: .
Bir köklü sayının hangi iki tam sayı arasında olduğunu bulmak için kökün içine en yakın tam kareler aranır. olduğu için ; olduğu için dir. , ya çok yakın olduğu için e yakındır.
Katsayı kök içine alınırken karesi alınır.
yazmak yanlıştır; doğrusu dir.
Üslü sayıları sıralama
Üslü sayıları karşılaştırmak için ya tabanları ya da üsleri eşitlemeye çalışılır. Tabanlar eşit ve den büyükse üssü büyük olan büyüktür. Üsler eşit ve tabanlar pozitifse tabanı büyük olan büyüktür.
, ve sayıları verilsin.
Küçükten büyüğe sıralayalım.
Tabanları ye çevirelim: , , .
Tabanlar eşit; üsleri karşılaştıralım: .
Sıralama: .
, ve sayıları verilsin.
Küçükten büyüğe sıralayalım.
Tabanlar eşitlenemez, ama üslerin ortak böleni : ve .
Üsler eşit; tabanları karşılaştıralım: .
Sıralama: .
Üslü sayıları sıralarken ya tabanları ya da üsleri eşitle.
Köklü sayıları sıralarken hepsini tek bir kökün içine al.
Farklı türden sayıları sıralama
Sınavda sıralanacak sayılar karışık da gelebilir: bir kesir, bir ondalık sayı ve bir köklü sayı aynı soruda yer alabilir. Bu durumda en pratik yol, hepsini aynı biçime, genellikle ondalık yaklaşık değere çevirmektir. Yaklaşık değerler birbirine çok yakın çıkarsa bir basamak daha hesaplanır.
, ve sayıları verilsin.
Küçükten büyüğe sıralayalım.
Ondalık değerler: ve yaklaşık .
Mutlak değerler: . Negatif sayılarda sıra ters döner.
Sıralama: .
, ve sayıları verilsin.
Küçükten büyüğe sıralayalım.
nin ilk basamakları , nin ilk basamakları .
İlk iki ondalık basamak üçünde de aynı; üçüncü basamakta , ve var.
Sıralama: . Buradan nin ye çok yakın ama ondan biraz büyük bir kesir olduğu da görülür.
Yaklaşık değerle sıralarken yeterli basamak kullan.
ile yi iki ondalık basamakla karşılaştırırsan ikisi de görünür ve eşit sanılır. Fark ancak üçüncü basamakta ortaya çıkar.
Harfle verilen sayıları sıralama
Bazı sorularda sayının kendisi değil, bulunduğu aralık verilir. ise in kuvvetleri alındıkça sayı küçülür, kökü alındıkça büyür, tersi ise den büyüktür:
olsun.
, , ve i sıralayalım.
Hesaplayalım: , , , .
Ondalıkla: .
Yani .
Negatif aralıklardaki sıralama tabloları için Pozitif ve Negatif Sayılar yazısındaki sıralama bölümüne bakabilirsin.
Sınavda sayı doğrusu ve sıralama
Temel düzeyde (TYT) bu konu kesir, köklü ve üslü sayıları sıralama, aralıktaki tam sayıları sayma ve sayı doğrusunda uzaklık biçiminde karşına çıkabilir.
ALES ve KPSS düzeyinde sıralama bilgisi sayısal akıl yürütme sorularının içinde de karşına çıkabilir: verilen seçeneklerden en büyüğünü ya da en küçüğünü bulma gibi.Sıralama sorularında her sayıyı aynı biçime getirmek işin yarısıdır: kesirleri ortak paydaya, köklüleri tek köke, üslüleri ortak tabana ya da ortak üsse. Sayılar aynı dili konuştuğunda karşılaştırma kendiliğinden ortaya çıkar. Seçeneklerde birbirine çok yakın değerler varsa yaklaşık değer yerine kesin bir yöntemi, yani ortak paydayı, çapraz çarpımı ya da tek kök yöntemini tercih et.
Sık yapılan hatalar
| Hata | Doğrusu |
|---|---|
| sanmak | |
| Basamağı çok olan ondalığı büyük sanmak | |
| Paydası büyük kesri büyük sanmak | |
| yazmak | |
| Negatif kesirde sırayı çevirmemek | |
| Aralıkta uç noktayı yanlış saymak | Dolu nokta dahil, boş nokta hariç |
Bu hataların ortak noktası, sayıyı sayı doğrusunda hayal etmeden karşılaştırmaktır. Emin olamadığında iki sayıyı doğru üzerine yerleştir: sağda olan büyüktür.
Hap bilgi özeti
Sayı doğrusunda sağdaki sayı soldakinden her zaman büyüktür.
Her gerçek sayı doğru üzerinde tek bir noktaya karşılık gelir.
Paylar eşitse paydası küçük olan, paydalar eşitse payı büyük olan kesir büyüktür (pozitif kesirlerde).
Pay ile payda arasındaki fark sabitse kesirleri e olan uzaklıklarıyla karşılaştır.
Üslü sayıları sıralarken ya tabanları ya da üsleri eşitle.
Köklü sayıları sıralarken hepsini tek bir kökün içine al.
Sık sorulanlar
Sayı doğrusu nedir?
Başlangıç noktası, birim uzunluğu ve yönü seçilmiş bir doğrudur. Her gerçek sayı bu doğru üzerinde tek bir noktaya karşılık gelir.
Sayı doğrusunda iki nokta arasındaki uzaklık nasıl bulunur?
Büyük sayıdan küçük sayı çıkarılır. Hangisinin büyük olduğu bilinmiyorsa farkın mutlak değeri alınır.
Kesirler nasıl sıralanır?
Paydalar eşitlenip paylar karşılaştırılabilir, kesirler ondalığa çevrilebilir ya da iki kesir çapraz çarpımla karşılaştırılabilir. Paylar eşitse paydası küçük olan büyüktür.
Negatif sayılarda hangisi büyüktür?
Sıfıra daha yakın olan, yani mutlak değeri küçük olan büyüktür. Örneğin eksi 2, eksi 9 dan büyüktür.
Köklü sayılar nasıl karşılaştırılır?
Katsayılar karesi alınarak kökün içine taşınır ve kök içleri karşılaştırılır. Kök içi büyük olan sayı büyüktür.
Aralıkta köşeli parantez ne demektir?
Uç noktanın aralığa dahil olduğunu gösterir. Normal parantez ise uç noktanın hariç olduğunu gösterir.
Kontrol listesi
0 / 10 tamamlandı
Tebrikler, bu konunun kontrol listesini tamamladın.
Bunlar da ilgini çekebilir


