Temel Kavramlar ve Sayılar

Sayı Doğrusu ve Sayıları Sıralama

TYTALESKPSS10 dakikalık okuma

Sayı doğrusu ve sayıları sıralama: ahşap ray üzerine soldan sağa büyüyen renkli toplar yerleştiren iki öğrenci

Sayıları karşılaştırmanın en sağlam yolu, onları bir doğru üzerinde görmektir. Sayı doğrusunda sağdaki sayı her zaman büyüktür; bu basit kural tam sayılardan kesirlere, köklü sayılardan üslü sayılara kadar her sıralama sorusunun temelidir. Bu yazıda sayı doğrusunu kuruyor, iki nokta arasındaki uzaklığı ve orta noktayı buluyor, aralıkları gösteriyor ve ondalık sayıları, kesirleri, köklü ve üslü sayıları sıralamanın yöntemlerini çözümlü örneklerle ele alıyoruz.


Sayı doğrusu nedir?

Önce şunları bil

Bu yazıyı daha rahat anlamak için tam sayıları, kesirleri ve pozitif-negatif sayı kavramını biliyor olman yeterli.

İşaret kuralları ve negatif sayılar için Pozitif ve Negatif Sayılar yazısına göz at.

Sayı doğrusu, sayıları bir doğru üzerinde noktalarla gösterme yoludur. Kurmak için üç şey gerekir: başlangıç noktası olarak seçilen ve 0 ile gösterilen bir nokta, birim uzunluk olarak seçilen sabit bir uzunluk ve bir yön. Genellikle sağ yön pozitif seçilir; 0 ın sağında 1,2,3, solunda 1,2,3, birer birim aralıkla dizilir.

Sayı doğrusundaki her nokta tek bir gerçek sayıya, her gerçek sayı da tek bir noktaya karşılık gelir. Yalnızca tam sayılar değil, 34 gibi kesirler ve 2 gibi irrasyonel sayılar da doğru üzerinde bir yer kaplar. Gerçek sayıların doğruyu boşluksuz doldurması hakkında İrrasyonel Sayılar ve Gerçek Sayılar yazısına bakabilirsin.

Hap bilgi

Sayı doğrusunda sağdaki sayı soldakinden her zaman büyüktür.

Her gerçek sayı doğru üzerinde tek bir noktaya karşılık gelir.

Sayı doğrusuna sayı yerleştirmek

Tam sayılar birim çizgilerin tam üzerindedir. Kesirleri yerleştirmek için birim aralık paydadaki sayı kadar eşit parçaya bölünür ve pay kadar parça sayılır.

Örnek

34 ve 73 sayıları verilsin.

Sayı doğrusunda yerlerini bulalım.

34: 0 ile 1 arası 4 eşit parçaya bölünür; 0 dan sağa 3 parça sayılır.

73=2+13: 2 ile 3 arası 3 eşit parçaya bölünür; 2 den sağa 1 parça sayılır.

Ondalık ve irrasyonel sayılar için önce hangi iki tam sayı arasında olduklarına bakılır. 1,5, 2 ile 1 in tam ortasındadır. 2 ise yaklaşık 1,41 olduğu için 1 ile 2 arasında, 1,5 in biraz solundadır.

Dikkat

Negatif kesirleri yerleştirirken yön ters çalışır.

73=213 dir: 2 den sola doğru 1 parça sayılır. Sayı 2 ile 3 arasındadır, 2 ye daha yakındır.

İki nokta arasındaki uzaklık ve orta nokta

Sayı doğrusunda a ve b noktaları arasındaki uzaklık, büyük sayıdan küçüğün çıkarılmasıyla bulunur. Hangisinin büyük olduğunu düşünmek istemiyorsan farkın mutlak değerini al: uzaklık |ab| dir. İki noktanın tam ortasındaki nokta ise iki sayının ortalamasıdır: a+b2.

Örnek

Sayı doğrusunda A=3 ve B=7 noktaları verilsin.

A ile B arasındaki uzaklığı ve orta noktayı bulalım.

Uzaklık: |7(3)|=|10|=10 birim.

Orta nokta: 3+72=42=2.

Kontrol: 2 nin 3 e uzaklığı 5, 7 ye uzaklığı da 5 birimdir.

Örnek

Sayı doğrusunda A=4 ve B=8 noktaları verilsin.

[AB] yi A dan başlayarak 1:3 oranında bölen noktayı bulalım.

|AB|=8(4)=12 birim. 1:3 oranı, uzunluğun 4 eşit parçaya bölünmesi demektir.

Bir parça 12:4=3 birim; nokta A dan 3 birim sağdadır.

Aranan nokta 4+3=1. Kontrol: A ya uzaklığı 3, B ye uzaklığı 9; oran 1:3.

Örnek

Sayı doğrusunda 5 e uzaklığı 3 birim olan noktalar sorulsun.

Bu noktaları bulalım.

5 ten sağa 3 birim: 8. 5 ten sola 3 birim: 2.

İki nokta vardır: 2 ve 8. Bu soru, |x5|=3 denkleminin sayı doğrusundaki karşılığıdır.

Aralıklar ve aralıktaki tam sayılar

Sayı doğrusunda iki sayı arasındaki bölgeye aralık denir. Uç noktanın aralığa dahil olup olmadığı iki şekilde gösterilir: sayı doğrusunda dolu nokta dahil, boş nokta hariç demektir; yazıda ise köşeli parantez dahil, normal parantez hariç demektir.

EşitsizlikAralıkUç noktalar
axb[a,b]İkisi de dahil
a<x<b(a,b)İkisi de hariç
ax<b[a,b)Yalnız a dahil
a<xb(a,b]Yalnız b dahil

Bir ucu olmayan aralıklar da vardır. x>2 eşitsizliği, 2 nin sağındaki bütün sayıları anlatır ve (2,) biçiminde yazılır. x1 ise (,1] dir. Sonsuz bir sayı olmadığı ve hiçbir zaman ulaşılamadığı için sonsuz tarafında her zaman normal parantez kullanılır. İki aralığın ortak kısmını bulmak için ikisini aynı sayı doğrusu üzerinde çizmek yeter: x3 ile x<2 nin ortak kısmı [3,2) dir.

Örnek

3<x4 aralığı verilsin.

Bu aralıkta kaç tam sayı vardır?

3 hariç, 4 dahil. Tam sayılar: 2,1,0,1,2,3,4.

Terim sayısı formülüyle: 4(2)+1=7.

Aralıkta 7 tam sayı vardır.

Örnek

2,5x<3,2 aralığı verilsin.

Bu aralıktaki tam sayıları bulalım.

Uç noktalar tam sayı değil; bu yüzden dahil ya da hariç olmaları sonucu değiştirmez.

2,5 ten büyük en küçük tam sayı 2, 3,2 den küçük en büyük tam sayı 3.

Tam sayılar 2,1,0,1,2,3: toplam 6 tane.

Tam sayıları ve ondalık sayıları sıralama

Pozitif sayılarda büyüklük alışıldığı gibidir. Negatif sayılarda ise sıfırdan uzaklaştıkça sayı küçülür: 9, 2 den küçüktür çünkü sayı doğrusunda daha soldadır. Kısaca: iki negatif sayıdan mutlak değeri büyük olan daha küçüktür.

Ondalık sayıları karşılaştırırken önce tam kısma, tam kısımlar eşitse ondalık basamaklara soldan sağa sırayla bakılır. Basamak sayıları farklıysa sona sıfır eklemek karşılaştırmayı kolaylaştırır; 0,3 ile 0,300 aynı sayıdır.

Örnek

0,3, 0,305 ve 0,35 sayıları verilsin.

Küçükten büyüğe sıralayalım.

Basamakları eşitleyelim: 0,300, 0,305, 0,350.

Onda birler basamağı hepsinde 3; yüzde birler basamağında 0, 0, 5; binde birler basamağında 0 ile 5.

Sıralama: 0,3<0,305<0,35.

Örnek

0,3, 0,305 ve 0,35 sayıları verilsin.

Küçükten büyüğe sıralayalım.

Mutlak değerler bir önceki örnekteki sayılardır: 0,3<0,305<0,35.

Negatif sayılarda sıra ters döner.

Sıralama: 0,35<0,305<0,3.

Dikkat

Basamak sayısı fazla olan ondalık sayı daha büyük değildir.

0,305 in üç ondalık basamağı var, 0,35 in iki; ama 0,35 daha büyüktür. Karşılaştırma basamak sayısına göre değil, soldan başlayarak basamak değerlerine göre yapılır.

Kesirleri sıralama

Kesirleri sıralamanın tek bir yolu yoktur; sayılara bakıp en kısa yolu seçmek gerekir. Aşağıdaki yöntemler pozitif kesirler içindir:

  • Paydalar eşitse: payı büyük olan büyüktür. 59>49.
  • Paylar eşitse: paydası küçük olan büyüktür. 47>49; bir bütünü 7 parçaya bölmek, 9 parçaya bölmekten daha büyük parçalar verir.
  • Paydaları eşitlemek: kesirler ortak paydaya genişletilir, sonra paylar karşılaştırılır.
  • Ondalığa çevirmek: her kesir bölme işlemiyle ondalık sayıya çevrilir.
  • Çapraz çarpım: b ve d pozitifken ab ile cd yi karşılaştırmak için a·d ile b·c karşılaştırılır.
Örnek

35, 58 ve 712 kesirleri verilsin.

Küçükten büyüğe sıralayalım.

Paydaların en küçük ortak katı 120. Genişletelim: 72120, 75120, 70120.

Payları karşılaştıralım: 70<72<75.

Sıralama: 712<35<58. Ondalıkla kontrol: yaklaşık 0,583, 0,6 ve 0,625.

Örnek

58 ile 711 kesirleri verilsin.

Hangisinin büyük olduğunu çapraz çarpımla bulalım.

5·11=55 ve 8·7=56.

55<56 olduğu için 58<711.

Bire olan uzaklıkla sıralama

Pay ile paydası arasındaki fark aynı olan kesirlerde en hızlı yol, kesirlerin 1 e ne kadar uzak olduğuna bakmaktır.

Örnek

34, 56 ve 78 kesirleri verilsin.

Küçükten büyüğe sıralayalım.

Her biri 1 den biraz küçük: 114, 116, 118.

1 den çıkarılan parça ne kadar küçükse kesir o kadar büyüktür: 18<16<14.

Sıralama: 34<56<78.

Örnek

54, 76 ve 98 kesirleri verilsin.

Küçükten büyüğe sıralayalım.

Her biri 1 den biraz büyük: 1+14, 1+16, 1+18.

Bu kez 1 e eklenen parça büyük olan büyüktür.

Sıralama: 98<76<54.

Örnek

20252026 ile 20262027 kesirleri verilsin.

Hangisi büyüktür?

20252026=112026 ve 20262027=112027.

12027<12026 olduğu için 1 den daha az çıkarılan büyüktür.

20252026<20262027.

Hap bilgi

Paylar eşitse paydası küçük olan, paydalar eşitse payı büyük olan kesir büyüktür (pozitif kesirlerde).

Pay ile payda arasındaki fark sabitse kesirleri 1 e olan uzaklıklarıyla karşılaştır.

Negatif kesirleri sıralama

Negatif kesirlerde önce işaretleri yok sayıp pozitif kesirler gibi sıralarsın, sonra sırayı ters çevirirsin. Sayı doğrusunda sıfırdan uzak olan negatif sayı daha küçüktür.

Örnek

23 ile 34 sayıları verilsin.

Hangisi büyüktür?

Mutlak değerleri karşılaştıralım: 23=812 ve 34=912; yani 23<34.

Negatiflerde sıra ters döner.

34<23; büyük olan 23 dir.

Köklü sayıları sıralama

Köklü sayıları karşılaştırmanın en güvenilir yolu, hepsini tek bir kökün içine almaktır. Pozitif sayılarda kökün içi büyük olan sayı büyüktür. Kökün dışındaki bir katsayı, karesi alınarak içeri taşınır: ab=a2b.

Örnek

23, 32, 4 ve 15 sayıları verilsin.

Küçükten büyüğe sıralayalım.

Hepsini tek kök içine alalım: 23=12, 32=18, 4=16, 15.

Kök içlerini karşılaştıralım: 12<15<16<18.

Sıralama: 23<15<4<32.

Bir köklü sayının hangi iki tam sayı arasında olduğunu bulmak için kökün içine en yakın tam kareler aranır. 16<17<25 olduğu için 4<17<5; 49<50<64 olduğu için 7<50<8 dir. 17, 16 ya çok yakın olduğu için 4 e yakındır.

Dikkat

Katsayı kök içine alınırken karesi alınır.

32=6 yazmak yanlıştır; doğrusu 32=9·2=18 dir.

Üslü sayıları sıralama

Üslü sayıları karşılaştırmak için ya tabanları ya da üsleri eşitlemeye çalışılır. Tabanlar eşit ve 1 den büyükse üssü büyük olan büyüktür. Üsler eşit ve tabanlar pozitifse tabanı büyük olan büyüktür.

Örnek

45, 83 ve 162 sayıları verilsin.

Küçükten büyüğe sıralayalım.

Tabanları 2 ye çevirelim: 45=210, 83=29, 162=28.

Tabanlar eşit; üsleri karşılaştıralım: 8<9<10.

Sıralama: 162<83<45.

Örnek

230, 320 ve 510 sayıları verilsin.

Küçükten büyüğe sıralayalım.

Tabanlar eşitlenemez, ama üslerin ortak böleni 10: 230=(23)10=810 ve 320=(32)10=910.

Üsler eşit; tabanları karşılaştıralım: 5<8<9.

Sıralama: 510<230<320.

Hap bilgi

Üslü sayıları sıralarken ya tabanları ya da üsleri eşitle.

Köklü sayıları sıralarken hepsini tek bir kökün içine al.

Farklı türden sayıları sıralama

Sınavda sıralanacak sayılar karışık da gelebilir: bir kesir, bir ondalık sayı ve bir köklü sayı aynı soruda yer alabilir. Bu durumda en pratik yol, hepsini aynı biçime, genellikle ondalık yaklaşık değere çevirmektir. Yaklaşık değerler birbirine çok yakın çıkarsa bir basamak daha hesaplanır.

Örnek

1,2, 54 ve 2 sayıları verilsin.

Küçükten büyüğe sıralayalım.

Ondalık değerler: 54=1,25 ve 2 yaklaşık 1,41.

Mutlak değerler: 1,2<1,25<1,41. Negatif sayılarda sıra ters döner.

Sıralama: 2<54<1,2.

Örnek

3,14, π ve 227 sayıları verilsin.

Küçükten büyüğe sıralayalım.

π nin ilk basamakları 3,14159, 227 nin ilk basamakları 3,14285.

İlk iki ondalık basamak üçünde de aynı; üçüncü basamakta 0, 1 ve 2 var.

Sıralama: 3,14<π<227. Buradan 227 nin π ye çok yakın ama ondan biraz büyük bir kesir olduğu da görülür.

Dikkat

Yaklaşık değerle sıralarken yeterli basamak kullan.

π ile 227 yi iki ondalık basamakla karşılaştırırsan ikisi de 3,14 görünür ve eşit sanılır. Fark ancak üçüncü basamakta ortaya çıkar.

Harfle verilen sayıları sıralama

Bazı sorularda sayının kendisi değil, bulunduğu aralık verilir. 0<x<1 ise x in kuvvetleri alındıkça sayı küçülür, kökü alındıkça büyür, tersi ise 1 den büyüktür:

x2<x<x<1x

Örnek

x=14 olsun.

x2, x, x ve 1x i sıralayalım.

Hesaplayalım: x2=116, x=14, x=12, 1x=4.

Ondalıkla: 0,0625<0,25<0,5<4.

Yani x2<x<x<1x.

Negatif aralıklardaki sıralama tabloları için Pozitif ve Negatif Sayılar yazısındaki sıralama bölümüne bakabilirsin.

Sınavda sayı doğrusu ve sıralama

Sınavda nasıl çıkar

Temel düzeyde (TYT) bu konu kesir, köklü ve üslü sayıları sıralama, aralıktaki tam sayıları sayma ve sayı doğrusunda uzaklık biçiminde karşına çıkabilir.

ALES ve KPSS düzeyinde sıralama bilgisi sayısal akıl yürütme sorularının içinde de karşına çıkabilir: verilen seçeneklerden en büyüğünü ya da en küçüğünü bulma gibi.

Sıralama sorularında her sayıyı aynı biçime getirmek işin yarısıdır: kesirleri ortak paydaya, köklüleri tek köke, üslüleri ortak tabana ya da ortak üsse. Sayılar aynı dili konuştuğunda karşılaştırma kendiliğinden ortaya çıkar. Seçeneklerde birbirine çok yakın değerler varsa yaklaşık değer yerine kesin bir yöntemi, yani ortak paydayı, çapraz çarpımı ya da tek kök yöntemini tercih et.

Sık yapılan hatalar

HataDoğrusu
9>2 sanmak9<2
Basamağı çok olan ondalığı büyük sanmak0,305<0,35
Paydası büyük kesri büyük sanmak49<47
32=6 yazmak32=18
Negatif kesirde sırayı çevirmemek34<23
Aralıkta uç noktayı yanlış saymakDolu nokta dahil, boş nokta hariç

Bu hataların ortak noktası, sayıyı sayı doğrusunda hayal etmeden karşılaştırmaktır. Emin olamadığında iki sayıyı doğru üzerine yerleştir: sağda olan büyüktür.

Hap bilgi özeti

  1. Sayı doğrusunda sağdaki sayı soldakinden her zaman büyüktür.

    Her gerçek sayı doğru üzerinde tek bir noktaya karşılık gelir.

  2. Paylar eşitse paydası küçük olan, paydalar eşitse payı büyük olan kesir büyüktür (pozitif kesirlerde).

    Pay ile payda arasındaki fark sabitse kesirleri 1 e olan uzaklıklarıyla karşılaştır.

  3. Üslü sayıları sıralarken ya tabanları ya da üsleri eşitle.

    Köklü sayıları sıralarken hepsini tek bir kökün içine al.

Sık sorulanlar

Sayı doğrusu nedir?

Başlangıç noktası, birim uzunluğu ve yönü seçilmiş bir doğrudur. Her gerçek sayı bu doğru üzerinde tek bir noktaya karşılık gelir.

Sayı doğrusunda iki nokta arasındaki uzaklık nasıl bulunur?

Büyük sayıdan küçük sayı çıkarılır. Hangisinin büyük olduğu bilinmiyorsa farkın mutlak değeri alınır.

Kesirler nasıl sıralanır?

Paydalar eşitlenip paylar karşılaştırılabilir, kesirler ondalığa çevrilebilir ya da iki kesir çapraz çarpımla karşılaştırılabilir. Paylar eşitse paydası küçük olan büyüktür.

Negatif sayılarda hangisi büyüktür?

Sıfıra daha yakın olan, yani mutlak değeri küçük olan büyüktür. Örneğin eksi 2, eksi 9 dan büyüktür.

Köklü sayılar nasıl karşılaştırılır?

Katsayılar karesi alınarak kökün içine taşınır ve kök içleri karşılaştırılır. Kök içi büyük olan sayı büyüktür.

Aralıkta köşeli parantez ne demektir?

Uç noktanın aralığa dahil olduğunu gösterir. Normal parantez ise uç noktanın hariç olduğunu gösterir.

Kontrol listesi

0 / 10 tamamlandı

Bunlar da ilgini çekebilir

Bu yazıyı paylaş

WhatsAppX