Temel Kavramlar ve Sayılar

EBOB ve EKOK Konu Anlatımı PDF

TYTALESKPSS10 dakikalık okuma24 Eylül 2026

EBOB ve EKOK: renkli boncukları düzenli aralıklarla çubuklara dizerek ortak katları gösteren iki öğrenci

EBOB ve EKOK, iki ya da daha fazla sayının ortak yanlarını ölçer: EBOB hepsini tam bölen en büyük sayıyı, EKOK hepsinin tam böldüğü en küçük pozitif sayıyı verir. Bir alanı eş karelere bölmek, farklı aralıklarla gelen otobüslerin ne zaman birlikte kalkacağını bulmak ya da kesirleri ortak paydaya getirmek bu iki kavramla çözülür. Bu yazıda EBOB ve EKOK'u tanımlıyor, üç farklı yolla hesaplıyor, aralarındaki ilişkiyi gösteriyor ve problem türlerini çözümlü örneklerle ele alıyoruz.

Ortak bölen ve ortak kat

Önce şunları bil

Bu yazıyı daha rahat anlamak için bölünebilme kurallarını ve asal çarpanlara ayırmayı biliyor olman yeterli.

Asal çarpanlara ayırma için Asal Sayılar ve Asal Çarpanlara Ayırma yazısına göz at.

Bir sayıyı tam bölen pozitif sayılara o sayının bölenleri, sayının pozitif tam sayılarla çarpımlarına da katları denir. $12$ nin bölenleri $1, 2, 3, 4, 6, 12$ dir; katları ise $12, 24, 36, 48, \dots$ diye sonsuza kadar gider.

İki sayının ikisini birden bölen sayılara ortak bölen, ikisinin de katı olan sayılara ortak kat denir. Ortak bölenlerin en büyüğüne EBOB (en büyük ortak bölen), pozitif ortak katların en küçüğüne EKOK (en küçük ortak kat) denir.

Örnek

$12$ ve $18$ sayıları verilsin.

EBOB ve EKOK değerlerini listeleyerek bulalım.

$12$ nin bölenleri: $1, 2, 3, 4, 6, 12$ . $18$ in bölenleri: $1, 2, 3, 6, 9, 18$ .

Ortak bölenler: $1, 2, 3, 6$ . En büyüğü: $EBOB (12, 18) = 6$ .

$12$ nin katları: $12, 24, 36, 48, \dots$ $18$ in katları: $18, 36, 54, \dots$

İlk ortak kat: $EKOK (12, 18) = 36$ .

Hap bilgi

EBOB, sayıların hepsini tam bölen en büyük sayıdır; EKOK, sayıların hepsinin tam böldüğü en küçük pozitif sayıdır.

EBOB sayılardan büyük olamaz, EKOK sayılardan küçük olamaz.

Asal çarpanlarla EBOB ve EKOK

Listeleme yöntemi küçük sayılarda işe yarar ama büyük sayılarda uzun sürer. Asıl yöntem, sayıları asal çarpanlarına ayırmaktır. Her sayı asallarının kuvvetleri olarak yazıldıktan sonra:

EBOB: yalnızca ortak asallar alınır, her birinin en küçük üssüyle.
EKOK: bütün asallar alınır, her birinin en büyük üssüyle.

Nedeni şudur: EBOB iki sayıyı da bölmek zorunda olduğu için bir asaldan en fazla küçük üs kadar içerebilir. EKOK ise iki sayının katı olmak zorunda olduğu için her asaldan en az büyük üs kadar içermelidir.

Örnek

$72$ ve $120$ sayıları verilsin.

Asal çarpanlarla EBOB ve EKOK bulalım.

$72 = 2^{3} \cdot 3^{2}$ ve $120 = 2^{3} \cdot 3 \cdot 5$ .

EBOB: ortak asallar $2$ ve $3$ ; en küçük üslerle $2^{3} \cdot 3 = 24$ .

EKOK: bütün asallar $2$ , $3$ , $5$ ; en büyük üslerle $2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5 = 360$ .

Örnek

$2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 7$ ve $2^{2} \cdot 3^{5} \cdot 5$ sayıları verilsin.

EBOB ve EKOK değerlerini üslü biçimde yazalım.

EBOB: ortak asallar $2$ ve $3$ : $2^{2} \cdot 3^{2}$ .

EKOK: bütün asallar: $2^{4} \cdot 3^{5} \cdot 5 \cdot 7$ .

Dikkat

EBOB'a yalnızca bir sayıda bulunan asal girmez.

Yukarıdaki örnekte $5$ yalnızca ikinci sayıda, $7$ yalnızca birinci sayıda var. İkisi de EBOB'a girmez ama ikisi de EKOK'a girer.

Bölme yöntemi: ortak bölme tablosu

Sayılar yan yana yazılır ve en küçük asaldan başlayarak bölünür. Bir asal, sayılardan en az birini bölüyorsa kullanılır; bölünemeyen sayı aynen aşağı indirilir. Bütün sayılar $1$ olunca durulur.

EKOK: kullanılan bütün bölenlerin çarpımıdır.
EBOB: yalnızca sayıların hepsini aynı anda bölen bölenlerin çarpımıdır.

Örnek

$24$ , $36$ ve $60$ sayıları verilsin.

Bölme yöntemiyle EBOB ve EKOK bulalım.

$2$ ile bölelim: $12, 18, 30$ . Üç sayı da bölündü.

Yine $2$ ile: $6, 9, 15$ . Üç sayı da bölündü.

Yine $2$ ile: $3, 9, 15$ . Yalnızca $6$ bölündü, diğerleri aynen indi.

$3$ ile: $1, 3, 5$ . Üç sayı da bölündü. Yine $3$ ile: $1, 1, 5$ . Son olarak $5$ ile: $1, 1, 1$ .

EKOK, bütün bölenlerin çarpımıdır: $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 360$ .

EBOB, üç sayının birlikte bölündüğü adımların çarpımıdır: $2 \cdot 2 \cdot 3 = 12$ .

Bu yöntemde en kolay hata, hepsini aynı anda bölen adımları doğru işaretlememektir. Bu yüzden üç sayılı durumlarda asal çarpan yöntemi daha güvenlidir. Aynı sayıları asal çarpanlarıyla çözelim:

Örnek

$24 = 2^{3} \cdot 3$ , $36 = 2^{2} \cdot 3^{2}$ ve $60 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5$ verilsin.

EBOB ve EKOK bulalım.

EBOB: ortak asallar $2$ ve $3$ ; en küçük üsler: $2^{2} \cdot 3 = 12$ .

EKOK: $2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5 = 360$ .

Kontrol: $12$ , üç sayıyı da böler; $360$ ise üçünün de katıdır: $360 = 24 \cdot 15 = 36 \cdot 10 = 60 \cdot 6$ .

Dikkat

Bölme tablosunda EBOB için yalnızca bütün sayıların birlikte bölündüğü satırlar sayılır.

$24$ , $36$ ve $60$ için ilk iki bölme adımında ( $2$ ve $2$ ) üç sayı da çift olduğu için ikisi de EBOB'a girer; sonra $3$ ile üçü birden bölünür. Böylece $2 \cdot 2 \cdot 3 = 12$ bulunur.

EBOB ile EKOK arasındaki ilişki

İki pozitif tam sayı için çok kullanışlı bir eşitlik vardır:

EBOB (a, b) \cdot EKOK (a, b) = a \cdot b

Nedeni asal çarpanlardadır: her asal için EBOB küçük üssü, EKOK büyük üssü alır. İki üssün toplamı, o asalın $a$ ve $b$ deki üslerinin toplamına eşittir. Bu yüzden EBOB ile EKOK'un çarpımı, $a$ ile $b$ nin çarpımıyla aynı asal çarpanlara sahiptir.

Örnek

$12$ ve $18$ verilsin.

Eşitliği kontrol edelim.

$EBOB \cdot EKOK = 6 \cdot 36 = 216$ .

$12 \cdot 18 = 216$ . Eşitlik sağlanır.

Örnek

İki sayının EBOB'u $6$ , EKOK'u $90$ ve sayılardan biri $18$ olsun.

Diğer sayıyı bulalım.

Eşitliği kullanalım: $6 \cdot 90 = 18 \cdot b$ .

$b = \frac{540}{18} = 30$ .

Kontrol: $EBOB (18, 30) = 6$ ve $EKOK (18, 30) = 90$ .

Dikkat

Bu eşitlik yalnızca iki sayı için geçerlidir.

$2$ , $4$ ve $8$ için EBOB $2$ , EKOK $8$ dir; çarpımları $16$ olur. Ama $2 \cdot 4 \cdot 8 = 64$ tür. Üç ya da daha fazla sayıda eşitlik kullanılmaz.

Başka ilişkiler

EBOB, EKOK'u her zaman tam böler.
$a$ , $b$ yi tam bölüyorsa EBOB $a$ , EKOK $b$ dir. Örneğin $EBOB (6, 24) = 6$ ve $EKOK (6, 24) = 24$ .
EBOB'u $1$ olan sayılara aralarında asal denir; bu durumda EKOK sayıların çarpımıdır: $EKOK (8, 15) = 120$ .

EBOB'u verilen sayılar

EBOB'u $d$ olan iki sayı $d \cdot x$ ve $d \cdot y$ biçiminde yazılır ve $x$ ile $y$ aralarında asal olmak zorundadır. Ortak bir çarpanları olsaydı EBOB $d$ den büyük çıkardı.

Örnek

EBOB'u $8$ , toplamı $56$ olan iki pozitif tam sayı aransın.

Bu sayı çiftlerini bulalım.

Sayılar $8 x$ ve $8 y$ olsun; $8 x + 8 y = 56$ ise $x + y = 7$ .

$x$ ile $y$ aralarında asal olmalı: $(1, 6)$ , $(2, 5)$ , $(3, 4)$ çiftlerinin hepsi uygun.

Sayı çiftleri: $8$ ile $48$ , $16$ ile $40$ , $24$ ile $32$ .

Dikkat

$x$ ile $y$ nin aralarında asal olma koşulunu atlama.

EBOB'u $6$ , toplamı $48$ olan sayılarda $x + y = 8$ olur. $(2, 6)$ çifti bu toplamı sağlar ama $EBOB (12, 36) = 12$ dir, $6$ değil. Bu yüzden $(2, 6)$ elenir; uygun çiftler $(1, 7)$ ve $(3, 5)$ tir.

EBOB problemleri: parçalama

Bir bütünü en büyük eş parçalara ayırma, farklı miktarları en büyük eşit gruplara bölme ya da en az sayıda parça elde etme soruları EBOB ile çözülür. Parça büyüdükçe parça sayısı azalır; en büyük ortak parça, en az parça sayısını verir.

Örnek

Boyutları $84$ santimetre ve $120$ santimetre olan dikdörtgen bir karton, hiç artmayacak biçimde eş karelere bölünecek.

Kareler olabildiğince büyük olursa bir karenin kenarı ve kare sayısı ne olur?

Kare kenarı iki kenarı da tam bölmeli ve en büyük olmalı: $EBOB (84, 120) = 12$ santimetre.

Bir kenara $84 : 12 = 7$ , diğerine $120 : 12 = 10$ kare sığar.

Kare sayısı: $7 \cdot 10 = 70$ .

Örnek

Uzunlukları $48$ , $72$ ve $120$ metre olan üç halat, hiç artmayacak biçimde eşit uzunlukta parçalara kesilecek.

Parçalar en uzun olursa kaç parça elde edilir?

Parça uzunluğu: $EBOB (48, 72, 120) = 24$ metre.

Parça sayıları: $48 : 24 = 2$ , $72 : 24 = 3$ , $120 : 24 = 5$ .

Toplam $2 + 3 + 5 = 10$ parça elde edilir.

Örnek

Kenarları $60$ metre ve $84$ metre olan dikdörtgen bir bahçenin çevresine, köşelere de gelecek biçimde, eşit aralıklarla ağaç dikilecek.

En az kaç ağaç gerekir?

Aralık iki kenarı da tam bölmeli ve en az ağaç için en büyük olmalı: $EBOB (60, 84) = 12$ metre.

Çevre: $2 \cdot (60 + 84) = 288$ metre.

Kapalı bir çevrede ağaç sayısı aralık sayısına eşittir: $288 : 12 = 24$ ağaç.

Dikkat

Açık ve kapalı yolda ağaç sayısı farklıdır.

Kapalı bir çevrede ağaç sayısı aralık sayısına eşittir. Düz ve açık bir yolun iki ucuna da ağaç dikilirse ağaç sayısı aralık sayısından $1$ fazladır.

EKOK problemleri: buluşma ve birleştirme

Farklı aralıklarla tekrar eden olayların ilk kez birlikte gerçekleşmesi, küçük parçalardan en küçük bütünü oluşturma ve verilen sayıların hepsine bölünen en küçük sayıyı bulma soruları EKOK ile çözülür.

Örnek

Bir duraktan iki otobüs saat 09.00'da birlikte kalkıyor. Biri $12$ dakikada bir, diğeri $18$ dakikada bir kalkıyor.

İki otobüs bir sonraki sefer ne zaman birlikte kalkar?

Birlikte kalkış için geçen süre iki aralığın da katı olmalı ve en küçük olmalı: $EKOK (12, 18) = 36$ dakika.

Bir sonraki birlikte kalkış saat 09.36'dadır.

Örnek

Boyutları $6$ santimetre ve $8$ santimetre olan dikdörtgen fayanslar aynı yönde yan yana ve alt alta dizilerek bir kare oluşturulacak.

Oluşturulabilecek en küçük karenin kenarı ve gereken fayans sayısı nedir?

Karenin kenarı hem $6$ nın hem $8$ in katı olmalı: $EKOK (6, 8) = 24$ santimetre.

Bir kenara $24 : 6 = 4$ , diğerine $24 : 8 = 3$ fayans gelir.

Fayans sayısı: $4 \cdot 3 = 12$ .

Hap bilgi

"En büyük parça", "en az parça" ifadeleri EBOB'u; "ilk kez birlikte", "en küçük bütün" ifadeleri EKOK'u gösterir.

Parçalama EBOB, birleştirme EKOK sorusudur.

EKOK ile kalan problemleri

Bir sayının birkaç sayıya bölümünden kalanlar verilip sayı sorulduğunda iki durum ayrılır.

Kalanlar eşitse

Sayı, bölenlerin hepsine bölündüğünde aynı $r$ kalanını veriyorsa sayıdan $r$ çıkarılınca bölenlerin hepsine tam bölünür. Yani sayı, EKOK'un bir katının $r$ fazlasıdır.

Örnek

$4$ , $6$ ve $9$ a bölündüğünde her seferinde $3$ kalanını veren doğal sayılar aransın.

Bu sayılardan $3$ ten büyük olan en küçüğünü bulalım.

Sayı $EKOK (4, 6, 9) \cdot k + 3$ biçimindedir; $EKOK (4, 6, 9) = 36$ .

$k = 1$ için $36 + 3 = 39$ .

Kontrol: $39 = 4 \cdot 9 + 3 = 6 \cdot 6 + 3 = 9 \cdot 4 + 3$ .

Kalanlar bölenden hep aynı kadar eksikse

Kalanlar farklıysa bölen ile kalan arasındaki farklara bakılır. Farklar eşitse sayıya bu fark eklenince bölenlerin hepsine tam bölünür.

Örnek

Bir doğal sayının $5$ e bölümünden kalan $3$ , $6$ ya bölümünden kalan $4$ , $8$ e bölümünden kalan $6$ olsun.

Bu koşulları sağlayan en küçük doğal sayıyı bulalım.

Her durumda kalan, bölenden $2$ eksik: $5 - 3 = 6 - 4 = 8 - 6 = 2$ .

Sayıya $2$ eklenirse üç bölene de tam bölünür: sayı $EKOK (5, 6, 8) \cdot k - 2$ biçimindedir.

$EKOK (5, 6, 8) = 120$ ; en küçük sayı $120 - 2 = 118$ .

Kontrol: $118$ in $5$ e bölümünden kalan $3$ , $6$ ya bölümünden kalan $4$ , $8$ e bölümünden kalan $6$ .

Kesirlerde EBOB ve EKOK

EBOB ve EKOK'un günlük bir kullanımı kesirlerdedir. Bir kesri en sade hâline getirmek için pay ve payda EBOB'larına bölünür. Farklı paydalı kesirleri toplarken ya da karşılaştırırken ortak payda olarak paydaların EKOK'u kullanılır; bu, sayıları olabildiğince küçük tutar.

Örnek

$\frac{84}{120}$ kesri ile $\frac{5}{12} + \frac{7}{18}$ toplamı verilsin.

Kesri sadeleştirelim ve toplamı ortak paydayla bulalım.

$EBOB (84, 120) = 12$ : $\frac{84}{120} = \frac{7}{10}$ .

$EKOK (12, 18) = 36$ : $\frac{15}{36} + \frac{14}{36} = \frac{29}{36}$ .

Kesirlerle işlemlerin ayrıntısı için Kesirlerde Toplama ve Çıkarma yazısına bakabilirsin.

Sınavda EBOB ve EKOK

Sınavda nasıl çıkar

Temel düzeyde (TYT) bu konu parçalama, buluşma, ağaç dikme, fayans döşeme ve kalan problemleri biçiminde karşına çıkabilir.

ALES ve KPSS düzeyinde EBOB ve EKOK bilgisi sayısal akıl yürütme sorularında, özellikle tekrar eden olayların zamanlamasında da gerekebilir.

Problemde ilk yapılacak iş, sorunun EBOB mu EKOK mu istediğine karar vermektir. Cevabın verilen sayılardan küçük mü büyük mü olması gerektiğini düşünmek yardımcı olur: parça, bütünden küçüktür; ortak buluşma zamanı ise aralıklardan büyüktür. Bu kısa kontrol, yanlış kavramı seçmeyi büyük ölçüde önler.

Sık yapılan hatalar

Hata	Doğrusu
EBOB'a ortak olmayan asalı almak	Yalnız ortak asallar
EBOB'da büyük üssü almak	Küçük üs
EKOK'ta küçük üssü almak	Büyük üs
Üç sayıda $a \cdot b = EBOB \cdot EKOK$ kullanmak	Yalnız iki sayıda
Kapalı çevrede ağaç sayısına $1$ eklemek	Aralık sayısı kadar
Parçalama sorusunda EKOK almak	Parçalama EBOB

Bu hataların ortak noktası, iki kavramın tanımını karıştırmaktır. EBOB bölen olduğu için sayılardan büyük çıkamaz; EKOK kat olduğu için sayılardan küçük çıkamaz. Bulduğun sonucu bu iki cümleyle kontrol etmek hatayı hemen gösterir.

Hap bilgi özeti

EBOB, sayıların hepsini tam bölen en büyük sayıdır; EKOK, sayıların hepsinin tam böldüğü en küçük pozitif sayıdır.
EBOB sayılardan büyük olamaz, EKOK sayılardan küçük olamaz.
"En büyük parça", "en az parça" ifadeleri EBOB'u; "ilk kez birlikte", "en küçük bütün" ifadeleri EKOK'u gösterir.
Parçalama EBOB, birleştirme EKOK sorusudur.

Sık sorulanlar

EBOB ne demektir?

En büyük ortak bölen demektir. Verilen sayıların hepsini tam bölen pozitif sayıların en büyüğüdür.

EKOK ne demektir?

En küçük ortak kat demektir. Verilen sayıların hepsinin tam böldüğü pozitif sayıların en küçüğüdür.

EBOB ve EKOK asal çarpanlarla nasıl bulunur?

EBOB için yalnızca ortak asallar en küçük üsleriyle, EKOK için bütün asallar en büyük üsleriyle çarpılır.

EBOB çarpı EKOK neye eşittir?

İki pozitif tam sayı için sayıların çarpımına eşittir. Üç ya da daha fazla sayı için bu eşitlik geçerli değildir.

Bir problemin EBOB mu EKOK mu olduğu nasıl anlaşılır?

Bir bütünü en büyük eş parçalara ayırma soruları EBOB, farklı aralıklarla tekrar eden olayların birlikte gerçekleşmesi ya da en küçük bütünü oluşturma soruları EKOK ile çözülür.

Aralarında asal sayıların EKOK'u nedir?

EBOB'ları 1 olduğu için EKOK'ları sayıların çarpımıdır. Örneğin 8 ile 15 in EKOK'u 120 dir.

Kontrol listesi

Bunlar da ilgini çekebilir

Temel Kavramlar ve SayılarBölünebilme Kuralları Konu Anlatımı PDFBölünebilme kuralları: 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10 ve 11 ile bölünebilme, kalan bulma, birleşik kurallar ve rakam bulma soruları; çözümlü örneklerle.

Temel Kavramlar ve SayılarAsal Sayılar ve Asal Çarpanlara AyırmaAsal sayılar nedir? Asallık testi, Eratosthenes kalburu, asal çarpanlara ayırma, bölen sayısı ve toplamı, faktöriyelde asal çarpan; çözümlü örneklerle.

Temel Kavramlar ve SayılarKesirlerde Toplama ve ÇıkarmaKesirlerde toplama ve çıkarma nasıl yapılır? Eşit ve farklı paydalar, EKOK ile ortak payda, tam sayılı kesirler, negatif kesirler ve problemler.

Bu yazıyı paylaş

WhatsApp X