Problemler

Sayı Problemleri Konu Anlatımı PDF

Q: Sayı problemi nedir?

Bilinmeyen bir ya da birkaç sayının, aralarındaki toplam, fark, kat, ardışıklık ya da bölme ilişkileri verilerek bulunmasını isteyen problemdir.

Q: Toplamı ve farkı verilen iki sayı nasıl bulunur?

Büyük sayı, toplam ile farkın toplamının yarısıdır; küçük sayı, toplamdan farkın çıkarılmasının yarısıdır.

Q: Ardışık çift sayılar nasıl yazılır?

En küçüğü x olmak üzere x, x artı iki, x artı dört diye yazılır. Ardışık tek sayılar da aynı biçimde yazılır; yalnızca x tektir.

Q: İki basamaklı sayı nasıl ifade edilir?

Onlar basamağı a, birler basamağı b olan sayı on a artı b olarak yazılır. Rakamların yeri değişince sayı on b artı a olur.

Q: Ortalama problemlerinde nereden başlanır?

Önce toplam bulunur. Toplam, ortalama ile sayı adedinin çarpımıdır; sonraki işlemler toplamlar üzerinden yapılır.

Q: Tersten çözme ne zaman kullanılır?

Bir sayıya art arda işlemler uygulanıp sonuç verildiğinde kullanılır. Sondan başa doğru her işlemin tersi uygulanır.

Q: Oranı verilen iki sayı nasıl bulunur?

Sayılar oran sayılarının ortak bir k ile çarpımı olarak yazılır. Toplam ya da fark gibi ikinci bilgi k yı verir ve sayılar hesaplanır.

Q: Kalanları verilen sayı nasıl bulunur?

Koşulları sağlayan en küçük sayı deneme ile bulunur. Sonraki çözümler, bölenlerin EKOK'u kadar aralıklarla tekrar eder.

Q: Birden fazla sayı varsa hangisine x denir?

Diğer sayıların en kolay ifade edildiği sayıya x denir. Genellikle bu, başka sayıların katı ya da fazlası olarak anlatılan sayıdır.

TYTALESKPSS10 dakikalık okuma24 Eylül 2026

Sayı problemleri: boncuklu sayı çubuğu, kutular ve örtülü bir nesneyle sayılar arasındaki ilişkiyi görselleştiren öğrenci

Sayı problemleri, bilinmeyen bir ya da birkaç sayının, aralarındaki ilişkiler verilerek bulunmasını ister. Toplam ve fark, kat ilişkisi, ardışık sayılar, bölme ve kalan, rakamlar ve ortalama bu problemlerin en sık kullandığı ilişkilerdir. Bu yazıda her problem türünün nasıl denkleme çevrileceğini, işi kısaltan formülleri ve kısayolları, tersten çözme yöntemini ve sık yapılan hataları çözümlü örneklerle ele alıyoruz.

Sayı problemi nedir?

Önce şunları bil

Bu yazıyı daha rahat anlamak için birinci dereceden denklem çözmeyi ve sözel ifadeleri cebire çevirmeyi biliyor olman yeterli.

Denklem kurmanın adımları için Denklem Kurma Problemleri Nasıl Çözülür? yazısına göz at.

Sayı problemlerinde aranan şey bir ya da birkaç sayıdır. Sayıların kendisi verilmez; bunun yerine aralarındaki ilişkiler anlatılır: toplamları, farkları, biri diğerinin kaç katı, ardışık olup olmadıkları ya da bölündüklerinde ne kaldığı. Çözüm, bu ilişkileri denkleme çevirmekten ibarettir. İlişkiler doğru çevrildiğinde geriye kalan iş, birkaç satırlık basit bir hesaptır.

Bu yazıda ele aldığımız başlıca problem türleri şunlar:

Tür	Temel ilişki
Toplam ve fark	İki denklem, iki bilinmeyen
Kat ilişkisi	Bir sayı diğerinin katı
Ardışık sayılar	Sayılar eşit aralıklarla artar
Bölme ve kalan	Bölünen, bölen ile bölümün çarpımına kalanın eklenmesidir
Basamak	İki basamaklı sayı, onlar basamağının on katı ile birler basamağının toplamıdır
Ortalama	Toplam, ortalama ile sayı adedinin çarpımıdır

Hap bilgi

Sayı problemlerinde sayılar verilmez, aralarındaki ilişkiler verilir.

Her ilişki bir denkleme dönüşür.

Toplam ve farkı verilen iki sayı

İki sayının toplamı ve farkı biliniyorsa sayılar iki denklemle bulunur. Bu tür soruların çok sık çıkması, işi hızlandıran bir formülü de yararlı kılar.

Örnek

İki sayının toplamı $50$ , farkı $14$ tür.

Sayıları bulalım.

Büyük sayı $a$ , küçük sayı $b$ olsun: $a + b = 50$ ve $a - b = 14$ .

Denklemleri taraf tarafa toplayalım: $2 a = 64$ , yani $a = 32$ .

$b = 50 - 32 = 18$ . Sayılar $32$ ve $18$ dir.

Aynı işlemi genel olarak yaparsak şu sonuç çıkar:

büyük = \frac{toplam + fark}{2}

küçük = \frac{toplam - fark}{2}

Örnekte büyük sayı $\frac{50 + 14}{2} = 32$ , küçük sayı $\frac{50 - 14}{2} = 18$ olur. Formül ezberlenmese de denklemleri toplama fikri akılda kalırsa aynı sonuca her zaman ulaşılır.

Dikkat

Toplam ile fark ya ikisi de tek ya ikisi de çift olmalıdır.

Sayılar tam sayıysa toplam ile fark ya ikisi de tek ya ikisi de çift olur. Toplamı $50$ , farkı $15$ olan iki tam sayı yoktur; böyle bir sonuç, sorunun yanlış okunduğunu gösterir.

Kat ilişkisi

"Bir sayı diğerinin $4$ katı" gibi ifadelerde küçük sayıya $x$ demek en kısa yoldur; büyük sayı doğrudan $4 x$ olur. Bu seçim kesirli ifadelerle uğraşmayı önler.

Örnek

Bir sayı diğerinin $4$ katıdır ve farkları $36$ dır.

Sayıları bulalım.

Küçük sayı $x$ , büyük sayı $4 x$ olsun: $4 x - x = 36$ .

$3 x = 36$ , yani $x = 12$ . Sayılar $12$ ve $48$ dir.

Örnek

Bir sayının $3$ katının $7$ fazlası, aynı sayının $5$ katının $9$ eksiğine eşittir.

Sayıyı bulalım.

Sayı $x$ olsun: $3 x + 7 = 5 x - 9$ .

$16 = 2 x$ , yani $x = 8$ .

Kontrol: $3 \cdot 8 + 7 = 31$ ve $5 \cdot 8 - 9 = 31$ .

Örnek

Üç sayıdan ikincisi birincinin $2$ katı, üçüncüsü ikincinin $3$ fazlasıdır. Üç sayının toplamı $58$ dir.

Sayıları bulalım.

Birinci sayı $x$ olsun; ikinci $2 x$ , üçüncü $2 x + 3$ olur.

Toplam: $x + 2 x + 2 x + 3 = 58$ , yani $5 x = 55$ ve $x = 11$ .

Sayılar $11$ , $22$ ve $25$ tir. Kontrol: $11 + 22 + 25 = 58$ .

Kat ilişkisi toplamla birlikte verildiğinde de aynı mantık işler: bir sayı diğerinin $4$ katı ve toplamları $60$ ise $x + 4 x = 60$ yazılır ve $x = 12$ , büyük sayı $48$ bulunur. Toplam, küçük sayının $5$ katıdır; bu yüzden toplamı $5$ e bölmek küçük sayıyı doğrudan verir.

Ardışık sayılar

Ardışık sayılar eşit aralıklarla artan sayılardır. Ardışık tam sayılar birer, ardışık çift ya da tek sayılar ikişer artar. En küçüğüne $x$ denirse diğerleri buna göre yazılır.

Tür	Yazılışı
Ardışık tam sayılar	$x$ , $x + 1$ , $x + 2$
Ardışık çift sayılar	$x$ , $x + 2$ , $x + 4$
Ardışık tek sayılar	$x$ , $x + 2$ , $x + 4$
$5$ in ardışık katları	$x$ , $x + 5$ , $x + 10$

Ardışık çift ve ardışık tek sayılar aynı biçimde yazılır; aradaki fark yalnızca $x$ in çift mi tek mi olduğudur.

Örnek

Ardışık dört çift sayının toplamı $100$ dür.

Bu sayıları bulalım.

Sayılar $x$ , $x + 2$ , $x + 4$ ve $x + 6$ olsun: $4 x + 12 = 100$ .

$4 x = 88$ , yani $x = 22$ . Sayılar $22$ , $24$ , $26$ ve $28$ dir.

Kısa yol: ortalama $100 : 4 = 25$ tir. Ortalama tam ortada durduğu için sayılar $25$ in iki yanına simetrik yerleşir: $22$ , $24$ , $26$ , $28$ .

Ardışık sayıların ayrıntısı Ardışık Sayılar yazısında anlatılıyor.

Oranla verilen sayılar

İki sayının oranı verildiğinde sayılar ortak bir çarpanla yazılır. Oran $3 : 5$ ise sayılar $3 k$ ve $5 k$ biçiminde yazılır; sorudaki ikinci bilgi $k$ yı verir.

Örnek

İki sayının oranı $3 : 5$ ve toplamları $64$ tür.

Sayıları bulalım.

Sayılar $3 k$ ve $5 k$ olsun: $3 k + 5 k = 64$ .

$8 k = 64$ , yani $k = 8$ . Sayılar $24$ ve $40$ tır.

Kontrol: $24 + 40 = 64$ ve $\frac{24}{40} = \frac{3}{5}$ .

Oran bilgisinin ayrıntısı Oran ve Orantı Konu Anlatımı PDF yazısında anlatılıyor.

Bölme ve kalan

Bölme içeren sayı problemlerinin temel eşitliği şudur: bölünen, bölen ile bölümün çarpımına kalanın eklenmesiyle bulunur. Kalan her zaman bölenden küçüktür.

Bölünen = Bölen \cdot Bölüm + Kalan

Örnek

Bir sayı $7$ ile bölündüğünde bölüm $12$ , kalan $5$ tir.

Sayıyı bulalım.

Bölünen $= 7 \cdot 12 + 5$ .

Sayı $89$ dur. Kontrol: $89 = 7 \cdot 12 + 5$ ve $5 < 7$ .

Örnek

Bir sayının $6$ ile bölümünden kalan $4$ tür.

Bu sayının $3$ katının $6$ ile bölümünden kalanı bulalım.

Sayı $6 k + 4$ biçimindedir. $3$ katı: $18 k + 12$ .

$18 k$ ve $12$ nin ikisi de $6$ ya tam bölünür; kalan $0$ dır.

Sayısal kontrol: $10$ un $6$ ile bölümünden kalan $4$ tür; $30$ un $6$ ile bölümünden kalan $0$ dır.

Dikkat

Kalanı bölenden büyük ya da eşit almak.

Kalan her zaman bölenden küçüktür. Bir hesapta kalan bölene eşit ya da ondan büyük çıkarsa bölüm bir artırılır ve kalan küçültülür.

Basamak içeren sayı problemleri

İki basamaklı bir sayının onlar basamağındaki rakam $a$ , birler basamağındaki rakam $b$ ise sayının değeri $10 a + b$ dir. Rakamların yeri değişince sayı $10 b + a$ olur. Bu yazım, rakamlarla ilgili bütün soruları denkleme çevirmeyi sağlar.

Örnek

İki basamaklı bir sayının rakamları toplamı $11$ dir. Rakamların yeri değiştirilince sayı $27$ artıyor.

Sayıyı bulalım.

Sayı $10 a + b$ , yeni sayı $10 b + a$ olsun. Fark: $(10 b + a) - (10 a + b) = 9 b - 9 a = 27$ , yani $b - a = 3$ .

$a + b = 11$ ve $b - a = 3$ : toplam ve fark formülüyle $b = 7$ , $a = 4$ .

Sayı $47$ dir. Kontrol: $74 - 47 = 27$ ve $4 + 7 = 11$ .

Bu örnek güzel bir genellemeyi de gösterir: iki basamaklı bir sayı ile rakamlarının yeri değişmiş hâlinin farkı her zaman $9$ un katıdır, çünkü fark $9 (b - a)$ dır.

Dikkat

Rakamları çarpar gibi yazmak.

Onlar basamağı $a$ , birler basamağı $b$ olan sayı $a \cdot b$ değil, $10 a + b$ dir. Örneğin $47$ sayısı $4 \cdot 7 = 28$ değil, $4 \cdot 10 + 7$ dir.

Üç basamaklı sayılar

Üç basamaklı bir sayının yüzler, onlar ve birler basamağındaki rakamlar $a$ , $b$ ve $c$ ise sayının değeri $100 a + 10 b + c$ dir. Rakamlar hakkında verilen her bilgi bir denkleme dönüşür.

Örnek

Üç basamaklı bir sayının yüzler basamağı $4$ , birler basamağı yüzler basamağının $2$ katı ve rakamlarının toplamı $15$ tir.

Sayıyı bulalım.

Yüzler basamağı $4$ , birler basamağı $2 \cdot 4 = 8$ .

Rakamlar toplamı: $4 + b + 8 = 15$ , yani $b = 3$ .

Sayı $438$ dir. Kontrol: $4 + 3 + 8 = 15$ .

Rakamların her biri $0$ ile $9$ arasında bir tam sayıdır ve yüzler basamağı $0$ olamaz. Bir denklem bu koşulları sağlamayan bir değer verirse, kurulumda bir hata vardır.

Çarpımı verilen ardışık sayılar

Ardışık iki sayının çarpımı verildiğinde denklem ikinci dereceden olur, ama çoğu zaman tahminle hızla çözülür: ardışık iki sayının çarpımı, sayıların ortalamasının karesine çok yakındır.

Örnek

Ardışık iki pozitif tam sayının çarpımı $132$ dir.

Bu sayıları bulalım.

Sayılar $x$ ve $x + 1$ olsun: $x (x + 1) = 132$ .

$11 \cdot 11 = 121$ ve $12 \cdot 12 = 144$ olduğu için sayılar $11$ ile $12$ civarındadır.

Deneyelim: $11 \cdot 12 = 132$ . Sayılar $11$ ve $12$ dir.

Kalan koşuluyla sayı bulmak

Bazı sorularda sayının kendisi değil, farklı sayılara bölündüğünde verdiği kalanlar bilinir. Bu durumda koşulları sağlayan sayılar düzenli aralıklarla tekrar eder; aralık, bölenlerin EKOK'udur.

Örnek

Bir kutudaki bilyeler dörder dörder sayılınca $3$ bilye, beşer beşer sayılınca $2$ bilye artıyor. Kutuda $50$ den az bilye var.

Kutuda kaç bilye olabileceğini bulalım.

$4$ e bölümünden kalan $3$ olan sayılar: $3$ , $7$ , $11$ , $15$ , $19$ , $23$ , $27$ ve devamı.

Bunlardan $5$ e bölümünden kalanı $2$ olan ilk sayı $7$ dir. EKOK $(4, 5) = 20$ olduğu için sonraki çözümler $20$ şer artar: $7$ , $27$ ve $47$ .

Kutuda $7$ , $27$ ya da $47$ bilye olabilir. Kontrol: $47 = 4 \cdot 11 + 3$ ve $47 = 5 \cdot 9 + 2$ .

EKOK'un nasıl bulunduğu EBOB ve EKOK Konu Anlatımı PDF yazısında anlatılıyor.

Kesir içeren sayı problemleri

Bir sayının belirli bir kesri üzerinden kurulan sorularda sayıya $x$ denir ve kesir $x$ ile çarpılır. Paydaları yok etmek için iki taraf paydaların EKOK'u ile çarpılır.

Örnek

Bir sayının beşte üçünün $2$ fazlası $20$ dir.

Sayıyı bulalım.

Sayı $x$ olsun: $\frac{3 x}{5} + 2 = 20$ .

$\frac{3 x}{5} = 18$ , yani $3 x = 90$ ve $x = 30$ .

Kontrol: $30$ un beşte üçü $18$ , $2$ fazlası $20$ dir.

Örnek

Bir sayının yarısı ile üçte birinin toplamı $45$ tir.

Sayıyı bulalım.

Denklem: $\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 45$ .

İki tarafı $6$ ile çarpalım: $3 x + 2 x = 270$ , yani $5 x = 270$ ve $x = 54$ .

Kontrol: $27 + 18 = 45$ .

Kesir hesaplarının ayrıntısı Kesirler Konu Anlatımı PDF yazısında anlatılıyor.

Ortalama ile kurulan problemler

Birkaç sayının aritmetik ortalaması, sayıların toplamının sayı adedine bölünmesidir. Bu yüzden ortalama problemlerinde işe her zaman toplamı bularak başlamak gerekir: toplam, ortalama ile sayı adedinin çarpımıdır.

Örnek

Beş sayının ortalaması $18$ dir. Bu sayılardan biri çıkarılınca kalan dört sayının ortalaması $16$ oluyor.

Çıkarılan sayıyı bulalım.

Beş sayının toplamı: $5 \cdot 18 = 90$ .

Kalan dört sayının toplamı: $4 \cdot 16 = 64$ .

Çıkarılan sayı: $90 - 64 = 26$ .

Örnek

Bir sınıftaki $20$ öğrencinin not ortalaması $70$ tir. Sınıfa katılan yeni bir öğrenciyle ortalama $71$ oluyor.

Yeni öğrencinin notunu bulalım.

Önceki toplam: $20 \cdot 70 = 1400$ . Yeni toplam: $21 \cdot 71 = 1491$ .

Yeni öğrencinin notu: $1491 - 1400 = 91$ .

İkinci örneğin kısa bir yolu da var: yeni öğrenci ortalamayı $1$ puan artırdıysa notu, eski ortalamanın üzerine yeni sınıftaki $21$ öğrencinin her birine $1$ puan dağıtacak kadar fazladır. Yani not $70 + 21 \cdot 1 = 91$ olur ve toplamları ayrı ayrı hesaplamaya gerek kalmaz.

Dikkat

Ortalamaları doğrudan toplamak ya da çıkarmak.

İlk örnekte $18 - 16 = 2$ yazmak anlamsızdır. Ortalamalar farklı sayıda sayıya ait olduğu için önce her birinin toplamı bulunur, işlem toplamlar üzerinden yapılır.

Tersten çözme

Bir sayıya art arda işlemler uygulanıp sonuç verildiğinde, sondan başa doğru ters işlemler uygulanarak sayı bulunur. Toplamanın tersi çıkarma, çarpmanın tersi bölmedir. Bu yöntem, denklem kurmaktan çoğu zaman daha hızlıdır. Önemli olan, işlemleri sorudaki sıranın tam tersiyle, sondan başa doğru uygulamaktır.

Örnek

Bir sayıya $5$ ekleniyor, sonuç $3$ ile çarpılıyor, çıkan sonuçtan $6$ çıkarılıyor ve en son $2$ ye bölünüyor. Elde edilen sonuç $18$ dir.

Başlangıçtaki sayıyı bulalım.

Sondan başa ters işlemler: $2$ ye bölmenin tersi, $18 \cdot 2 = 36$ .

$6$ çıkarmanın tersi $36 + 6 = 42$ ; $3$ ile çarpmanın tersi $42 : 3 = 14$ .

$5$ eklemenin tersi $14 - 5 = 9$ . Sayı $9$ dur. Kontrol: $(9 + 5) \cdot 3 = 42$ , $42 - 6 = 36$ , $36 : 2 = 18$ .

Aynı soru denklemle de çözülür: $\frac{3 (x + 5) - 6}{2} = 18$ . Ama ters işlem yöntemi, parantez ve kesirle uğraşmadan aynı sonuca ulaşır. İşlem sırası karışık verilmişse ya da bilinmeyen birden fazla yerde geçiyorsa denklem yöntemi daha güvenlidir.

Sınavda sayı problemleri

Sınavda nasıl çıkar

Temel düzeyde (TYT) problem bölümünün ilk soruları çoğunlukla sayı problemleridir: toplam ve fark, kat, ardışık sayılar, basamak ve ortalama bu soruların temel kalıplarıdır.

ALES ve KPSS düzeyinde sayı problemleri, sayısal akıl yürütme sorularının da temelini oluşturur.

Sayı problemlerinde çözümü kontrol etmek çok kolaydır: bulunan sayıları sorudaki her cümlede denemek yeterlidir. Bu kontrol birkaç saniye sürer ve yanlış kurulmuş bir denklemi hemen ortaya çıkarır.

Sık yapılan hatalar

Hata	Doğrusu
Ardışık çift sayıları $x$ , $x + 1$ yazmak	$x$ , $x + 2$ , $x + 4$
İki basamaklı sayıyı $a \cdot b$ yazmak	$10 a + b$
Kalanı bölenden büyük almak	Kalan bölenden küçüktür
Ortalamaları doğrudan çıkarmak	Önce toplamları bul
Tersten çözerken işlem sırasını karıştırmak	Sondan başa ters işlem
Bulunan $x$ i cevap sanmak	Sorulan sayıyı hesapla

Bu hataların çoğu, sayılar arasındaki ilişkiyi cebire çevirirken yapılır. Kurulan her ifadeyi küçük bir sayıyla denemek, örneğin iki basamaklı sayıda $47$ için $10 a + b$ nin gerçekten $47$ verdiğini görmek, hatayı işin başında yakalar.

Hap bilgi özeti

Sayı problemlerinde sayılar verilmez, aralarındaki ilişkiler verilir.
Her ilişki bir denkleme dönüşür.

Sık sorulanlar

Sayı problemi nedir?

Bilinmeyen bir ya da birkaç sayının, aralarındaki toplam, fark, kat, ardışıklık ya da bölme ilişkileri verilerek bulunmasını isteyen problemdir.

Toplamı ve farkı verilen iki sayı nasıl bulunur?

Büyük sayı, toplam ile farkın toplamının yarısıdır; küçük sayı, toplamdan farkın çıkarılmasının yarısıdır.

Ardışık çift sayılar nasıl yazılır?

En küçüğü x olmak üzere x, x artı iki, x artı dört diye yazılır. Ardışık tek sayılar da aynı biçimde yazılır; yalnızca x tektir.

İki basamaklı sayı nasıl ifade edilir?

Onlar basamağı a, birler basamağı b olan sayı on a artı b olarak yazılır. Rakamların yeri değişince sayı on b artı a olur.

Ortalama problemlerinde nereden başlanır?

Önce toplam bulunur. Toplam, ortalama ile sayı adedinin çarpımıdır; sonraki işlemler toplamlar üzerinden yapılır.

Tersten çözme ne zaman kullanılır?

Bir sayıya art arda işlemler uygulanıp sonuç verildiğinde kullanılır. Sondan başa doğru her işlemin tersi uygulanır.

Oranı verilen iki sayı nasıl bulunur?

Sayılar oran sayılarının ortak bir k ile çarpımı olarak yazılır. Toplam ya da fark gibi ikinci bilgi k yı verir ve sayılar hesaplanır.

Kalanları verilen sayı nasıl bulunur?

Koşulları sağlayan en küçük sayı deneme ile bulunur. Sonraki çözümler, bölenlerin EKOK'u kadar aralıklarla tekrar eder.

Birden fazla sayı varsa hangisine x denir?

Diğer sayıların en kolay ifade edildiği sayıya x denir. Genellikle bu, başka sayıların katı ya da fazlası olarak anlatılan sayıdır.

Kontrol listesi

Bunlar da ilgini çekebilir

Temel Kavramlar ve SayılarArdışık SayılarArdışık sayılar nedir? Terim sayısı, ardışık sayıların toplamı, kareler ve küpler toplamı, çarpımda bölünebilme ve problemler; çözümlü örneklerle.

Temel CebirBirinci Dereceden Denklemler Konu Anlatımı PDFBirinci dereceden denklem nedir, nasıl çözülür? Terazi modeli, parantezli, kesirli ve ondalıklı denklemler, çözüm kümesi ve iki bilinmeyen; çözümlü örneklerle.

Temel CebirDenklem Kurma Problemleri Nasıl Çözülür?Denklem kurma nasıl yapılır? Sözel ifadeleri cebire çevirme, bilinmeyen seçimi, tablo yöntemi, sayı, yaş, para ve geometri soruları; çözümlü örneklerle.

Bu yazıyı paylaş

WhatsApp X